《高中数学讲义》秃头数学人

9、第八讲

　　第五章 解析几何
　　考点：1、掌握解析几何中基本的位置关系(两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系）。
　　2、掌握圆锥曲线的标准方程、几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。
　　3、灵活运用数形结合的思想求解数学问题。
　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，直线与圆的位置关系、圆锥曲线一直是考查的重点，考生要注意灵活运用数形结合的思想。
　　1. 直线的倾斜角与斜率
　　(1)直线的倾斜角
　　①定义：直线向上的方向与x轴正方向所成的角,叫做直线的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00.
　　②倾斜角的范围为0°≤α<1800
　　(2)直线的斜率
　　①当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角α之间满足 .
　　(2)直线的斜率
　　②已知两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1≠x2,那么直线PQ的斜率为 K=y2-y1／x2-x1(x1≠x2)
　　③斜率图象：

　　2、点与直线
　　（1）两点间距离公式：
　　设p1(x1,y1)、p2(x2,y2)是平面直角坐标系中的两个点，则
　　｜p1p2｜=√(x1-x2)2+(y1-y2)2
　　(2)点到直线距离公式：
　　平面内点p1(x1,y1)到直线Ax+By+C=0的距离为：d=｜Ax1+By1+C｜／√A2+B2
　　设平面两条平行线l1:Ax+By+C=0，l2：Ax+By+C=0，C≠D,则l1与l2的距离为
　　d=｜C-D｜／√A2+B2

　　3、圆的方程
　　(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0),其中圆心为(a,b)，半径为r。
　　(2)圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F＞0), 其中圆心为
　　（-D／2，-E／2),半径为r=1／2√D2+E2-4F
　　(3)圆的方程的确定：数形结合是常用的方法，结合圆所具有的平面几何性质，能够使解题过程简化；待定系数法也是求圆的方程常用的方法。
　　①几何法：若已知圆心坐标或半径，用标准式方程，求a,b,r;
　　②代数法：若已知圆上三个点的坐标，用一般式求D,E,F.
　　4、直线与圆的位置关系
　　直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
　　设直线l：Ax+By+C=0和圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r＞0)，圆心(a,b)到直线l的距离为d，则d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2
　　（1）相交 d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＜r（几何法）或直线与圆的方程组成的方程组，消去y或x转化为一元二次方程，其判别式?＞0（代数法）
　　（2）相切 d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2=r（几何法）或?=0（代数法）
　　（3）相离 d=｜Aa+Bb+C｜／√A2+B2＞r（几何法）或?＜0（代数法）
　　5.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程和图形性质

　　6、直线与圆锥曲线的关系
　　其判断方法都是利用代数方法，将直线l的方程与圆锥曲线C的方程联立，消去y得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0.
　　(1)当a≠0时，若有?＞0，则l与C相交；若有?=0，则l与C相切；若有?<0，则l与C相离。
　　（2）当a=0时，即得到一个一次方程，若方程有解，则l与C相交，此时只有一个公共点，若c为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若c为抛物线，直线l与抛物线的对称轴平行。
　　所以当直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时，直线l与双曲线、抛物线可能相切，也可能相交。