《高中数学讲义》秃头数学人

8、第七讲

　　第四章、立体几何
　　考点：1、掌握立体几何中基本的位置关系（平行、垂直）
　　2、掌握立体几何中的度量关系（面积、体积）。
　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间中的角、距离、面积及体积的计算是考查的重点，考生要注意理解和运用。
　　（一）空间直线、平面之间的位置关系
　　A.空间中直线与直线之间的位置关系
　　（1）共面直线：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
　　平行直线：同一平面内，没有公共点；
　　（2）异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
　　注：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（判断空间两条直线平行的依据。）

　　B.空间中直线与平面位置关系
　　（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
　　（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
　　（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
　　C.直线与平面平行
　　(1)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。
　　(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行则线线平行。
　　D.直线与平面垂直
　　直线与平面垂直是指直线与平面内任何一条直线垂直
　　（1）判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
　　（2）性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
　　（3）三垂线定理及逆定理：
　　三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
　　逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线和斜线的射影也垂直。
　　E.平面与平面之间的位置关系
　　空间两个平面的位置关系：相交、平行。
　　（1）平面与平面平行
　　判定定理：
　　如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（线面平行，面面平行）
　　性质定理：
　　如果两个平面平行，同时和第三个平面相交，那么它们交线平行（面面平行，线线平行）
　　（2）平面与平面垂直
　　判定定理：
　　一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直（线面垂直，面面垂直）
　　性质定理：
　　如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面（面面垂直，线线垂直）
　　（一）棱柱、棱锥与球
　　A.棱柱
　　（1）定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
　　（2）侧面积：S侧=cl（c为底面周长，l是高）利用直棱柱的侧面展开图为矩形得出。
　　（3）表面积：侧面积+底面积
　　（4）体积：V=sh(s为底面积，h为高）
　　B.棱锥
　　（1）定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
　　（2）表面积：侧面积+底面积
　　（3）体积：V=1／3sh(s为底面积，h为高）
　　C.球
　　（1）定义：空间中到定点的距离等于或小于定长的点的集合叫做球体，简称球。
　　球的截面是一个圆面，截面的半径r=√R2-d2（R为球的半径，d为球心与截面的圆心之间的距离）。
　　（2）表面积：S=4πR2
　　（3）体积：V=4／3πR3