《高中数学讲义》秃头数学人

10、第八讲

　　第六章、向量与复数
　　考点：1、熟练掌握向量运算，把握向量的基本性质。
　　2、理解向量作为几何的研究对象的重要性，熟练运用向量进行代数运算。
　　3、掌握复数的意义与运算。
　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，向量几何是考查的重点，考生要能熟练运用向量及其运算研究几何图形的位置关系和度量关系。
　　1、平面向量
　　（1）向量的概念：既有大小又有方向的量。常用一条有向线段的 表示， 的长度 表示向量的大小即向量的模（长度），记作||，长度为0的向量，记为0.
　　平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。0与任一向量平行。
　　向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法
　　设
　　向量加法满□□换律与结合律；
　　向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
　　（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量.
　　（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.
　　（3）向量的减法
　　①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量。
　　②向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，记作a-b，即a-b=a+(-b).
　　（4）实数与向量的积：
　　①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：
　　（Ⅰ）｜λa｜=｜λ｜｜a｜
　　（Ⅱ）当λ>0时，λa的方向与的a方向相同；当λ　　②数乘向量满□□换律、结合律与分配律
　　(5)平面向量的基本定理：
　　如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2使：a=λ1e1+λ2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
　　2、空间向量及其运算
　　(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合则这些向量为共线向量或平行向量．
　　(2)共线向量定理：对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb
　　（3）共线向量定理的推论
　　如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量 a 的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足关系式OP＝OA＋t a
　　其中非零向量 a 叫直线l的方向向量

　　(4)共面向量：把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
　　(5)共面向量定理
　　如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使p＝xa＋yb
　　（6）推论
　　空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使
　　MP＝ xMA＋yMB ，或对空间任一定点O，有OP＝OM＋xMA＋yMB。
　　3．空间向量基本定理
　　（1）基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任意一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc

　　(2)推论
　　设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P都存
　　在唯一的有序实数组x，y，z，使OP＝xOA＋yOB＋zOC