《高中数学讲义》秃头数学人

7、第七讲

　　方程、不等式、数列与极限
　　考点：1、掌握一元二次方程、一元三次方程根与系数关系及方程根的判别法。
　　2、把握函数与不等式的关系，深入认识函数知识的应用。
　　3、掌握等差数列和等比数列的求和公式。
　　4、理解极限的含义，熟练掌握极限的计算。
　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，一元三次方程根与系数关系、不等式的求解、等差数列和等比数列的应用、极限的运算是考查的重点，考生在复习时要注意多加练习，以便灵活运用。
　　1、一元二次方程
　　只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。标准形式:ax?+bx+c=0（a≠0），设其两根为x1,x2，则x1+x2=-b／a,x1x2=c／a,Δ=b?-4ac;当Δ＞0，方程有两相异实根，当Δ=0，方程有一根，当Δ＜0，方程无解。
　　四种解法：
　　（1）直接开平方法
　　形如 x2=p 或 (nx+m)2=p(p≥o)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。
　　如果方程化成 x2=p 的形式，那么可得 x= √p.
　　①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。
　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。
　　③方法是根据平方根的意义开平方。
　　（2）配方法
　　将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
　　用配方法解一元二次方程的步骤：
　　①把原方程化为一般形式；
　　②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
　　③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
　　④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
　　⑤如果n≥0，用两边开平方来求方程的解；如果n＜0，则原方程无解。
　　配方法的理论依据是完全平方公式
　　配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
　　（3）公式法
　　用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。
　　在Δ=b?-4ac≥0 的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。
　　（4）分解因式法
　　利用因式分解求出方程的解的方法。
　　因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。
　　2、一元三次方程
　　只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。
　　一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0根与系数的关系：

　　3、不等式
　　A.两个实数比较大小的法则：
　　如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b是负数，那么a　　B.不等式的基本解法
　　分式不等式：分式不等式的解法就是整式化。
　　①当分母的值可以确定正负时，可直接去分母解之；
　　②当分母的值不能确定正负时：
　　不等式 f(x)／g(x)＞0(或<0)与不等式f(x).g(x)＞0(或<0)同解。
　　不等式 f(x)／g(x)≥0(或≤0)与不等式组 同解。
　　无理不等式：转化为有理不等式，首先考虑不等式两边的未知数的取值范围，然后在考虑把不等式同解变形为需要的形式。
　　不等式 √f(x) ≥g(x)的同解不等式组是：
　　不等式√f(x)≤g(x) 的同解不等式组是：
　　指数不等式：
　　af(x)＞ag(x)(a ＞0 且a ≠ 1）的同解不等式是：
　　当a>1时， f(x)＞g(x)；当0　　对数不等式：皆需化为型如：logaf(x)＞logag(x)(a ＞0 且a ≠1）的同解不等式，与该不等式同解的不等式组是：当a>1时， ;

　　当0
　　含有绝对值不等式：化原不等式为等价的不含绝对值的不等式或不等式组，一般有以下方法：
　　①｜f(x)｜＞a f(x)＞a或f(x)＜-a，｜f(x)｜＜a -a＜f(x)＜a
　　②｜f(x)｜＞｜g(x)｜ f2(x)＞g2(x)
　　③ ｜x+a｜-｜x+b｜＞ c 可采用零点法讨论求解。
　　4、等差数列
　　A.定义：
　　一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
　　B.通项公式 ：
　　若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝
　　(n－m)d ＝p.
　　C.等差中项
　　如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，如果A是x和 y的等差中项，则A＝
　　D.等差数列的常用性质
　　(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N* )．
　　(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q， 则am＋an＝ap＋aq(m，n,p,q∈N* )．
　　(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N* )是公差为md的等差数列．
　　(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
　　(5)S2n－1＝(2n－1)an.

　　E.等差数列的前n项和公式
　　若已知首项a1和末项an，则Sn＝n（a1＋an）／2，或等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其前n项和公式为Sn＝na1＋n（n－1）／2× d.
　　F.等差数列的前n项和公式与函数的关系
　　Sn＝d／2 ×n2＋（a1－d／2）×n，数列{an}是等差数列的充要条件是Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
　　G.判断或证明数列是等差数列的方法有：
　　1、定义法：an＝a1＋(n－1)d(n∈N* ，d是常数） ｛an｝是等差数列； 2、中项法：2an+1=an+an+2 (n∈N*) ｛an｝是等差数列；
　　3、通项公式法： an=kn+b（k,b是常数）｛an｝是等差数列；
　　项和公式法：sn=An2+Bn （A,B是常数，A≠0 ） ｛an｝是等差数列；
　　2、等比数列
　　A.定义：
　　{an}为等比数列 an+1／an=q (q为常数）
　　B.通项公式 ：
　　an=a1qn-1=akqn-k （a1，q≠0）
　　C.求和公式
　　na1 (q=1)
　　sn= a1(1-qn)／1-q=a1-anq／1-q (q≠1)
　　D.中项公式:
　　G2=ab推广：an2=an-m×an+m
　　E.性质：
　　（1）若m+n=p+q则aman=apaq
　　（2）若｛Kn｝成等差数列 （其中kn∈N），则｛akn｝成等比数列。
　　（3）sn,s2n-sn,s3n-s2n成等比数列。
　　（4）qn-1=an／a1,qn-m=an／am(m ≠ n)
　　F.判断和证明数列是等比数列常用的方法：
　　(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证an／an-1为同一常数；
　　(2)通项公式法；
　　(3)中项公式法:验证an+12=anan+2,n∈N都成立；
　　(4) 若{an}为等差数列，则{aan}为等比数列（a>0且a≠1）；
　　若{an}为正数等比数列，则{logaan}为等差数列（a>0且a≠1）。