《高中数学讲义》秃头数学人

5、第五讲

　　1、空间直角坐标系及有关概念
　　(1)空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做原点．x轴，y轴，z轴统称 坐标轴 ．由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．
　　(2)空间一点M的坐标为有序实数组(x，y，z)，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标 ，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．
　　2、空间向量的有关定理
　　(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.
　　(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量c与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使c＝xa＋yb.
　　3．空间向量的数量积及运算律
　　(1)数量积及相关概念
　　①两向量的夹角

　　②两向量的数量积
　　已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a,b〉．
　　(2)数量积的运算律
　　①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
　　②交换律：a·b＝b·a；
　　③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
　　4．空间向量坐标表示及应用
　　(1)数量积的坐标运算
　　若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a·b＝ a1b1+a2b2+a3b3
　　(2)共线与垂直的坐标表示
　　设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则a∥b??a＝λb??a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，a⊥b??a·b＝0??a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均为非零向量)．

　　5、两平面的相关位置
　　定义两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.（通常取锐角）

　　按照两向量夹角余弦公式有

　　（两平面夹角余弦公式）
　　两平面位置特征：

　　6、直线与平面的关系
　　定义：直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角．

　　设

　　直线与平面的夹角公式

　　7、空间两直线的相关位置
　　定义：两直线的方向向量的夹角称之为该两直线的夹角.（锐角）
　　设：L1: L2:

　　两直线的位置关系：

　　两直线的夹角公式:

　　第四章概率论与数理统计
　　1、随机事件
　　定义：一个随机试验E中可能发生也可能不发生的事件称为该试验的随机事件（简称事件）通常用字母A、B、C等表示。
　　事件的运算规律：（1）交换律：A∪B＝B∪A，AB＝BA
　　（2）结合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)， (AB)C＝A(BC)
　　（3）分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C) (A∪B)C＝(AC)∪(BC) (4)德摩根公式：

　　概率的公理化定义:设E是随机试验，Ω是E的样本空间，对于E的每一个事件A对应唯一的实数值，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(A)满足下列条件：
　　（1）非负性：
　　（2）规范性：
　　（3）可列可加性：是任意无穷多个互不相容的事件，有
　　则称P(A)为事件A的概率。
　　随机事件的独立性定义：设事件A、B是某一随机试验的任意两个事件，若满足 ，则称事件A、B互相独立
　　2、随机变量的数字特征
　　随机变量函数的数学期望定理：设 X 为随机变量，y=g(x)为实函数，
　　（1）设 x为离散型随机变量，概率分布为

　　若 绝对收敛，则存在，且

　　（2）设x为连续型随机变量，密度函数为 f(x)，若 绝对收敛，则 存在，且

　　注：为求y=g(x)的数学期望，可以不必通过求y的概率分布（离散）或密度函数（连续），而只需直接利用x的概率分布或密度函数。
　　3、随机变量的方差的计算
　　（1）定义法 离散情形
　　若x为离散型随机变量，概率分布为 则

　　连续情形：若x为连续型随机变量，概率密度函数为 f(x),则

　　公式法

　　4、常用离散型分布的数学期望和方差
　　分布名称 概率分布 数学期望 方差
　　0-1分布 p(x=1)=p,p(x=0)=q p pq
　　二项分布 np npq
　　泊松分布
　　几何分布
　　退化分布 p(x=c)=1 C 0
　　指数分布

　　正态分布