《高中数学讲义》秃头数学人

4、第四讲

　　第二章高等代数
　　考点：1、掌握矩阵、行列式的性质，求解线性方程组的方法。
　　2、会化二次型为标准型，会判断二次型的正定性。
　　3、了解线性空间的定义及简单性质，线性变换的定义、性质及欧氏空间的一些概念。
　　考点聚焦：1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，行列式的计算和性质、克莱姆法则、矩阵的概念及运算、矩阵的性质、线性空间的定义及简单性质是考查的重点，考生在复习这部分知识的时候，要注意多加练习，在掌握理论的基础上灵活运用。

　　1、行列式的性质：
　　性质1：行列互换，行列式不变。
　　性质2：

　　即一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式。

　　性质3：

　　即如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
　　性质4：如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。
　　性质5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。
　　性质6：把一行的倍数加到另一行，行列式不变。
　　性质7：对换行列式中两行的位置，行列式反号。

　　2、矩阵：
　　（1）定义：由mxn个数aij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)排成 m行n列的数表，

　　叫做m行 n列矩阵，简称mxn矩阵。这mxn 个数叫做矩阵A的元素 ，aij叫做矩阵A的第i行第j列的元素。
　　上述的矩阵A也简记为A=(aij)mxn或A=(aij)
　　mxn矩阵A也记为Amxn

　　（2）矩阵的加法：两个m行n列矩阵A=(aij)mxn ，B =(bij)mxn 对应位置相加得到的m行n列的矩阵，称为矩阵A与矩阵B的和，记为A+B，即

　　注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算。

　　矩阵加法的运算律：

　　由此规定矩阵的减法为

　　（3）数与矩阵相乘：以数λ乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵称为数λ与矩阵A的积，记作λA或Aλ，如果A=(aij)mxn ，那么

　　数乘矩阵的运算规律：

　　注意：矩阵的数乘与行列式的数乘是不一样的，矩阵的数乘是数乘矩阵每一个元素，行列式的数乘是数乘行列式的某行（某列）的每一元素。
　　矩阵的特征值与特征向量
　　定义设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx (1)成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，( A-λE)X=0 (2)
　　这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0 , (3)

　　3、线性空间
　　定义：设V是一个非空集合，R为实数域．如果对于任意两个元素
　　总有唯一的一个元素 与之对应，称为α与β的和，记作?? = α+ β。
　　若对于任一数与任一元素 ，总有唯一的一个元素与之对应，称为λ与α的积，记作δ= α+λ。

　　如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那
　　么V就称为数域R上的向量空间（或线性空间）．
　　3、线性空间

　　线性空间的性质： 1．零元素是唯一的．
　　2．负元素是唯一的．向量α的负元素记为 — α

　　4．如果 λα=0则λ=0或α=0 .

　　4、欧氏空间的定义
　　设V是实数域 R上的线性空间，对V中任意两个向量α、β，定义一个二元实函数，记作
　　（α、β ）若（α、β ）满足性质：

　　则称（α、β ）为α和β的内积，并称这种定义了内积的
　　实数域 R上的线性空间V为欧氏空间.
　　考试真题
　　下列命题正确的是（ ）（2016年下半年真题）
　　A.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素相同
　　B.若三阶行列式D=0，那么D中有两行元素对应成比例
　　C.若三阶行列式D中有6个元素为零，则D=0
　　D.若三阶行列式D中有7个元素为零，则D=0
　　解析：三阶行列式D中若7个元素为零，则至少有一行（或列）的元素全是零，所以它的值为0.