《高中数学讲义》秃头数学人

3、第三讲

　　第一章、数学分析
　　考点：1、掌握数列极限与函数极限的定义
　　2、求极限的方法
　　3、导数与微分的应用
　　4、求解定积分与不定积分
　　5、能够运用微积分基本定理求解问题
　　1、数列极限的定义：

　　设 {Xn} 为实数列，a 为定数．若对任给的正数ε，总存在正整数N，使得当 n>N 时有∣Xn-a∣<ε则称数列{Xn} 收敛于a，定数 a 称为数列 {Xn} 的极限，并记作 或Xn→a（n→∞）
　　读作“当 n 趋于无穷大时，{Xn} 的极限等于或趋于 a”．
　　若数列 {Xn} 没有极限，则称 {Xn} 不收敛，或称 {Xn} 为发散数列．
　　该定义常称为数列极限的ε—N定义．
　　对于收敛数列有以下两个基本性质，即收敛数列的唯一性和有界性。
　　定理1：如果数列{Xn}收敛，则其极限是唯一的。
　　定理2：如果数列{Xn}收敛，则其一定是有界的。即对于一切n（n=1,2……），总可以找到一个正数M，使|Xn|≤M。
　　2、函数极限的定义：
　　设f(x)在x0点附近（除x0点以外）有定义，A是一定数，若对任意给定的 ε >0，存在δ >0

　　当 的时候，有

　　则称A是函数f(x)当x趋于xo的时候的极限，

　　记为 或者记为：
　　3、求极限的一般方法：
　　⑴直接代入法。以x=x0代入f(x)，如f(x0)有意义，则极限为f(x0)
　　⑵约分法。如f(x)为分式，且分子、分母可约分，约分后所得的式子g (x0)有意义，则函数极限为g (x0)。
　　⑶有理化法。如f(x)为分式，且分子、分母中其一为无理式，可将其有理化后再约分，如所得g (x0)有意义，则极限为g (x0)。
　　⑷若x→∞，f(x)为分式，分子、分母均为多项式时，可将分子、分母同除以x的最高次幂，再逐项求极限。

　　4、导数的应用
　　（1）求可导函数f(x)极值的步骤：
　　??求导数f'(x);
　　??求方程f'(x)=0的根；
　　??检验f'(x)在方程f'(x)=0的根的左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的右侧附近为正，左侧附近为负，那么函数y=f(x)在这个根处取得极小值。
　　（2）函数的最大值和最小值
　　设y=f(x)是定义在区间[a,b]内有导数，求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值，可分两步进行：
　　??求y=f(x)在（a,b)内的极值；
　　??将y=f(x)在各极值点的极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
　　若函数f(x)在[a,b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a,b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值。
　　5、微分学基本定理
　　拉格朗日（Lagrange）中值定理
　　这个定理也称为微分学的中值定理，它是微分学中的一个很重要的定理。
　　设函数 f (x) 满足：
　　(i) f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;
　　(ii) f(x) 在开区间 (a, b) 内可导.
　　那么在开区间（a,b）内 至少 存在一点 , 使得

　　-----拉格朗日公式.

　　注：当f(a)=f(b)时，拉格朗日定理就是罗尔定理，可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.
　　罗尔 ( Rolle ) 定理
　　Y=f(x)满足:
　　(1) 在区间 [a , b] 上连续
　　(2) 在区间 (a , b) 内可导
　　(3) f ( a ) = f ( b )
　　在( a , b ) 内至少存在一点

　　柯西中值定理
　　设函数f(x), g(x) 在区间[a,b]上满足
　　1) f(x) , g(x) 在闭区间 [a, b] 上连续;

　　则在开区间（a,b）内必定 (至少) 存在一点 , 使得

　　三者关系