《高中数学讲义》秃头数学人

24、第二十四讲

　　问题解决教学
　　一、数学问题概述
　　二、问题解决、解决问题与解答习题
　　三、问题解决的教学

　　一、数学问题概述
　　（一）数学问题
　　（二）问题解决中的数学问题
　　（三）数学问题的设计原则
　　（一）数学问题
　　数学问题大体有以下特点：一是非常规性；二是重视情境应用；三是探究性。
　　从历史角度来看，正是问题的提出、探究和解决，推动了数学科学的不断发展。从某种意义上来说，数学发展的历史，就是数学问题的提出和解决历史。
　　（二）问题解决中的数学问题
　　“数学问题解决”教学的问题大致有以下三种：
　　1、可构建数学模型的非常规的实际问题
　　将生活、生产等社会活动中发现的实际问题抽取出来，通过构建数学模型，化实际问题为数学问题，然后应用数学思想或方法来解决问题，这是人们认识世界的重要途径。
　　2、探究性问题
　　通过一定的探索、研究去深入了解和认识数学对象的性质，发现数学规律和真理的问题叫做探究性问题。
　　通过探究，不仅可以培养学生的数学思维能力，科学探索精神，而且可以使学生在数学学习活动中获得成功的体验，从而建立自信心，这对于培养学生形成完整的独立人格具有重要的作用。

　　3、开放性问题
　　开放性问题旨在培养学生思维的灵活性、发散性，因而也有利于培养学生的创新精神、创新意识。教学过程中可以提供一些开放性的问题，使学生在探索的过程中进一步理解所学的知识。
　　（三）数学问题的设计原则
　　问题解决中的“问题”主要是指那些非常规的性的或者条件不充分、结论不确定的开放性、探究性问题。好的数学问题应当具有较强的探索性，它要求人们具有程度的独立见解、判断力、能动性和创新精神。
　　1、可行性原则
　　2、渐近性原则
　　3、应用性原则
　　1、可行性原则
　　在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。

　　2、渐近性原则
　　渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。
　　3、应用性原则
　　在数学课程中增加现代数学中具有广泛性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。
　　二、问题解决、解决问题与解答习题
　　问题解决：在问题空间中进行搜索，以便使问题的初始状态达到目标状态的思维过程，它可能还存在着角度的不同、方法的不同，可以有分析比较融入其中。
　　解决问题：运用已有的知识寻求解决的方法的过程，它有解决的策略与方法，从发现问题开始，到计划、实施、检查、完善，最后使问题得以解决。
　　解答习题：运用已有的知识按一定的程序推理或计算得出题目的答案的过程。
　　三、问题解决的教学
　　问题解决的教学可分为纯粹数学问题解决的教学和非常规问题解决的教学。前者一般运用波利亚怎样解题表，后者则需要根据具体问题建模分析。
　　（一）波利亚怎样解题表
　　（二）构建数学模型解题
　　（一）波利亚怎样解题表
　　波利亚是围绕“怎样解题”、“怎样学会解题”来开展数学启发法研究的，波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。
　　（二）构建数学模型解题
　　非常规数学问题来源于人类的生产、生活实践，来源于人们了解自然、认识自然的科技活动，一般来说，它是非常规的、由情境给出的一种实际需求，并且具有一定的探究性。问题的解决通过几个过程来实现。
　　1、分析问题背景，寻找数学联系
　　2、建立数学模型
　　3、求解数学问题
　　4、检验
　　5、交流和评价
　　6、推广
　　1、分析问题背景，寻找数学联系
　　通过对所给问题的分析，理解问题背景的意义，从中找出它们与哪些数学知识有联系，以便建立有关的数学模型，使实际问题数学化，从而使非常规问题转化为常规问题来解决。

　　2、建立数学模型
　　在分析的基础上，将实际问题符号化并确定其中的关系，进而写出由这些符号和关系所确定的数学联系，用具体的代数式、函数式、方程式、不等式或相关的图形、图表等把这些数学联系确定下来，就形成了数学模型。
　　3、求解数学问题
　　根据数学模型的特征，可采用适当的数学思想、方法和数学知识，对数学模型进行求解。
　　一般情况下，只要数学模型建立起来以后，学生自然会去联想已学过的数学知识和熟悉的数学思想方法，通过推理和演算，达到问题的解决。
　　4、检验
　　将数学问题的求解结果返回到实际问题中去进行检验，看它是否与实际问题的情形相吻合，从而决定是否要修改模型或另辟途径。
　　5、交流和评价
　　在学生进行研讨、解决问题的过程中，教师要通过巡回观察及时了解和掌握学生的学习进度，对于有困难的学生及时给予必要的指导，也可以作为学生的伙伴和助手，参加到学生的探究活动中去。
　　6、推广
　　如果问题得到了解决，看它是否可以进行推广。如果解决过的问题是一个具体问题，就可引导学生通过归纳、类比和猜测，得到普遍的结论，然后再证明这个结论。
　　在数学问题解决的教学过程中，既要注重发挥学生的主体作用，又要重视教师主导作用的发挥，二者相辅相成，不可偏废。