《高中数学讲义》秃头数学人

23、第二十三讲

　　推理教学
　　推理是从一个或几个已知的判断作出一新判断的思维形式。
　　【案例1】角平分线上任一点到这个角两边的距离相等，因此，到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上。
　　【案例2】矩形的对角线平分且相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线平分且相等。
　　以上两例都是数学推理，推理在实践中有两个方面的作用：一是帮助人们从已知的知识推出新的知识；二是证明的工具。
　　一、推理的结构
　　二、推理的形式
　　一、推理的结构
　　任何推理都是由前提和结论两部分组成的。前提是在推理过程中所依据的已有判断，它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个，也可以是几个。案例1有一个前提，案例2有两个前提。
　　逻辑思维对推理的要求是：推理要合乎逻辑。所谓推理合乎逻辑，就是指在进行推理时要合乎推理形式，遵守推理规则。
　　二、推理的形式
　　推理定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。
　　数学中常见的推理有演绎推理、归纳推理和类比推理。

　　三者关系：

　　（一）合情推理
　　1、归纳推理
　　2、类比推理
　　1、 归纳推理
　　定义：又叫归纳法，从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。（特殊到一般）

　　1、 归纳推理
　　分类：归纳推理可以分为完全归纳推理和不完全归纳推理。
　　完全归纳推理是通过某类事物中每一个对象情况或每一个子类的情况的研究，而概括出关于该类事物的一般性结论的推理。
　　不完全归纳推理是通过对某类事物中的一部分对象或一部分子类的考查，而概括出该类事物的一般性结论的推理。
　　归纳推理的特点：
　　①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
　　②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
　　③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
　　2、类比推理：
　　定义：又称类比法，是根据两个事物（或两类事物）的某些相同属性，推出它们还有其他相同属性的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
　　注意：类比推理所引出的结论并不一定真实。例如，由a=b,则ac=bc，用类比法可以得到若a>b,则ac>bc，而这个结论却不一定是正确的。因此，类比推理所得的结论只有一定程度的可靠性。一般来说，如果两类事物共有的性质愈多，那么推出的结论的可靠程度就愈大。
　　类比推理的意义：
　　用类比推理得到的结论，虽然不一定真实，但在人们的认识活动中仍有它的积极意义。科学上有些重要的假说，是通过类比推理得出来的；数学中有不少重大的发现是由类比推理先提供线索的；生产科技中的许多发明创造，也是通过类比推理而受到启发的。因此，类比推理仍不失为一种获取新知识的工具。
　　（二）演绎推理：
　　定义：
　　又叫演绎法，是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。（一般到特殊）
　　形式：
　　演绎推理的形式多种多样，数学中运用最普遍的有三段论推理，还有联言推理、选言推理和关系推理。
　　三段论推理：
　　又叫三段论法，是由两个前提（大前提、小前提）推出一个结论的思维形式。
　　大前提是指一般□□物，如已知的公理、定理、定义、性质等，它是反映一般原理的判断。小前提是指有一般□□物特征的特殊事物，它是反映个别对象与大前提有关系的判断。结论是由两个前提推出的判断。
　　特点：
　　演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理合乎逻辑，得到的结论就一定正确。因此，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。

　　归纳推理和演绎推理的关系：
　　（1）演绎以归纳为基础，归纳为演绎准备条件。从演绎的前提看，最初的前提是数学公理，这些公理是人们经过长期反复实践归纳得来的，从演绎所得到的结论看，这些结论都还需要经过实践检验，并且在实践中又归纳出新的结论加以补充和发展。
　　（2）归纳以演绎为指导，演绎给归纳提供理论依据。归纳的每个环节都离不开演绎。因此，归纳和演绎是互相渗透、互相联系、互相补充的，是辩证的统一。
　　在实践中，通常总是把两种推理结合使用，由归纳获得猜想假定，通过鉴别猜想假定的真伪，去掉其不正确部分，保留有研究价值的部分，直接获得确定的结果后，再给予演绎证明。