《高中数学讲义》秃头数学人

21、第二十一讲

　　第二章 概念、命题、推理与问题解决教学第一节 概念教学
　　考点：1、掌握概念教学、命题教学和推理教学的基本内容。
　　2、掌握问题解决教学知识的基本内容。
　　考点聚焦：1、本章知识在历年考试题中大多以选择题和简答题的形式进行考查。
　　2、在历年考试中，概念之间的关系、整体性策略、推理的形式、问题解决的教学是考查重点，考生要注意理解和运用。
　　第一节 概念教学
　　数学概念是数学科学知识体系的基础，同时，数学概念又表现为数学思维的一种形式。数学概念的学习与学生对数学知识的掌握、合理的数学认知结构的形成以及数学能力的提高都密切相关。
　　一、概念的内涵和外延
　　二、概念间的逻辑关系
　　三、概念下定义的常见方式
　　四、数学概念获得的主要方式
　　五、对概念教学的认识

　　一、概念的内涵和外延
　　概念的内涵与外延，是概念的基本特征，是准确把握概念和系统掌握知识的基础。概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性的总和，概念的外延就是概念所反映的事物的总和（或范围）。
　　概念的外延和内涵明确了，就可以更好地认识概念，把握概念，否则就会出现错误。要对概念加深认识，不仅要明确概念的内涵与外延，还要掌握概念的内涵与外延之间的关系。
　　二、概念间的逻辑关系
　　逻辑上所说的概念间的关系，通常是指概念外延间的同异关系。
　　在形式逻辑中，两个概念的外延之间，主要有以下几种关系：
　　1、相容关系
　　2、不相容关系
　　1、相容关系
　　如果两个概念的外延交集是非空集合，即外延至少有一部分是重合的，则称二者具有相容关系。
　　三种情形：
　　（1）全同关系—同一关系或者重合关系：如果两个概念A和B的外延完全重合，那么就说这两个概念具有全同关系。
　　（2）交叉关系：外延只有一部分重合的两个概念A和B之间的关系，称为交叉关系，这两个概念称为交叉概念。
　　（3）从属关系：如果A概念的外延包含B概念的外延，那么这两个概念间的关系称为从属关系。

　　2、不相容关系
　　如果两个概念是属于同一属概念下的种概念，并且它们的外延集合的交集为空集，那么称这两个概念间的关系是不相容关系、全异关系或排斥关系。不相容关系又分为矛盾关系和反对关系。
　　（1）对立关系（反对关系）：在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延之和小于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为反对关系或者对立关系。
　　（2）矛盾关系：在同一属概念下的两个种概念，如果它们的外延的和等于属概念的外延，而且这两个种概念具有全异关系，那么，这两个种概念的关系为矛盾关系。
　　三、概念下定义的常见方式
　　在数学科学系统中，对于每一个数学概念都要给予确定的内容和定义。定义是揭示概念内涵的逻辑方法。任何定义都是由被定义项、定义项和定义联项三部分组成的。被定义项就是其内涵被揭示的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项则是用来联结被定义项和定义项的，常用的定义联项：“是”、“叫做”、“称为”等。
　　1、属加种差定义法
　　2、揭示外延的定义方法
　　3、描述性定义法
　　1、属加种差定义法
　　中学数学中，有一系列概念属于同一类，这些概念之间的外延存在属种（从属）关系。
　　给数学概念下定义常用属加种差定义的方式，其公式为：
　　被定义的概念=最邻近的属概念+种差。在同一个属概念里，一个种概念与其他种概念之间本质属性的差别，叫做这个种概念的种差。
　　邻近的属加种差定义方法有两种特殊形式，一是发生式定义法，二是关系定义法。
　　2、揭示外延的定义方法
　　数学中有些概念，不易揭示其内涵，可直接指出概念的外延作为它的定义。
　　揭示外延的定义方法还有一种特殊形式，即外延的揭示采用约定的方法，因此也称为约定式定义方法。
　　3、描述性定义法
　　直接用简明、清晰的语言描述数学概念的属性的定义方式为描述性定义。
　　四、数学概念获得的主要方式
　　数学概念获得有两种主要方式：一种是学生由大量的同类事物的不同例证中，独立发现同类事物的关键特征，这种获得方式，在心理学上称为概念形成；另一种是直接向学生展示定义，利用原有认知结构中有关知识理解新概念，这种获得概念的方式，心理学中称为概念同化。
　　五、对概念教学的认识
　　（一）我国概念教学活动
　　（二）对数学概念教学的认识和提高
　　（一）我国概念教学活动
　　我国数学教育界历来重视中学数学概念的教学，但由于传统教育思想的影响，使得在进行概念教学活动时存在一些问题，直接影响着教学质量的提高。
　　（二）对数学概念教学的认识和提高
　　1、重视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响
　　2、数学概念教学是素质教育的重要内容
　　3、数学概念教学是一个完整的教学过程，不可有头有尾
　　4、数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式
　　5、要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学
　　1、重视解释概念的内涵与外延，重视概念学习之间的迁移影响。
　　数学概念具有确定的内涵与外延，教学的迁移要重视深入揭示概念的外延，把新旧概念的由来和发展、区别和联系进行剖析、类比，深刻理解、灵活运用、克服负迁移、发挥正迁移。
　　2、数学概念教学是素质教育的重要内容
　　复习旧课，讲授新课，离不开概念，可以说概念教学贯穿于数学教学过程的始终。

　　3、数学概念教学是一个完整的教学过程，不可有头有尾
　　数学概念教学是一个过程，这个过程分为四个阶段：
　　（1）概括 （2）表述 （3）识别 （4）运用
　　4、数学概念教学要抓住关键，不可追求单一的教学模式
　　影响概念学习的因素：
　　（1）学生的年龄、经验与智力。 （2）感性材料或感性经验方面 （3）学生的概括能力 （4）学生的语言表达能力

　　5、要在数学思想、方法的高度上进行数学概念教学
　　数学概念和其他数学知识一样，是中学数学的表层知识，而数学思想、方法是数学的深层知识，深层知识蕴含于表层知识中，是表层知识的本质，是分析、处理和解决数学问题的策略和基本方法。