《高中数学讲义》秃头数学人

13、第十讲

　　第九章 数学史
　　考点：考点：1、了解早期算术与几何的历史。
　　2、了解古希腊数学与中国古代数学的历史。
　　3、了解平面解析几何产生及几何作图三大难题的历史。
　　4、了解微积分产生、集合论发展、随机思想发展与算法思想发展的历史。
　　5、了解近代中学数学教育改革概况。

　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题的形式进行考查。
　　2、在历年考试中，数学史常有考到，考生需要通过了解数学的起源与发展，体会和认识数学对社会发展产生的重大影响，对于关键人物的重要学说需要重点识记。
　　1、早期算术与几何的历史
　　①古埃及数学：埃及算术主要是加法，而乘法是加法的重复，他们能解决一些一元一次方程的问题，并具备等差、等比数列的初步知识。占特别重要地位的是分数算法，即把所有分数都化成单位分数（即分子是1的分数）的和。
　　②两河流域的数学：指美索不达米亚和古巴比伦的数学。苏美尔人会分数、加、减、乘、除四则运算和解一元二次方程，发明了十进制法和十六进制法。古巴比伦几何学的重要特征在于它的代数性质。例如，涉及平行于直角三角形一条边的横截线问题时引出了二次方程，讨论棱锥的平头截体的体积时出现了三次方程。
　　2、古希腊数学的历史
　　①泰勒斯：在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想。
　　②毕达哥拉斯：以发现勾股定理著称于世。
　　③欧几里得:被誉为“几何之父”，发现欧几里得几何。
　　④阿基米德：“力学之父”，利用“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积，后世的数学家将这种方法发展为近代的“微积分”。
　　3、中国古代的历史：
　　①刘徽：中国古典数学理论的奠基者之一。最早提出十进小数概念，利用割圆术科学地求出了圆周率π=3.1416。
　　②赵爽：将勾股定理表述为：“勾股各自乘，并之，为弦实。开方除之，即弦。
　　③祖冲之：第一次将圆周率π值计算到小数点后6位，圆周率的祖先。
　　④秦九韶：著有《数书九章》，完整保存了中国算筹式记数法及其演算式，论述了自然数、分数、小数、负数，还第一次用小数表示无理根。

　　4、平面解析几何产生的历史：
　　①笛卡尔：创立了解析几何学，为微积分的创立奠定了基础。还发现了凸多面体边、顶点、面之间的关系，后人称之为欧拉—笛卡尔公式，微积分中常见的笛卡尔叶形线也是他发现的。
　　②费马：独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原理。费马在求曲线围成的图形面积的过程中，提出用微分子法求极大、极小的步骤，这也是早期微积分的雏形。

　　5、微积分产生的历史：
　　①牛顿：最伟大的成就就是发明了微积分。
　　②莱布尼茨：和牛顿先后独立发明了微积分。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分；莱布尼茨则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则。
　　6、几何作图三大难题的历史：
　　①三大难题：a.三等分角问题：将任一给定的角三等分。
　　b.立方倍积问题：求作一个正方形的棱长，使这个正方形的体积是已知正方形体积的二倍。
　　c.化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等。
　　阿贝尔：利用置换群的理论证明了一般五次以上的代数方程，它们的根式解法是不存在的。
　　伽罗瓦：在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。

　　7、集合论发展的历史：
　　①集合论是德国著名数学家康托尔于19世纪末创立的。
　　②罗素悖论提出指出了集合论的漏洞，这就是数学史上的第三次数学危机。
　　③策梅洛提出公理化集合论。
　　④康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。
　　8、随机思想发展的历史：
　　概率论的起源与赌博问题有关，其中一个问题是“赌金分配问题”，帕斯卡和费马最终解决了这个问题，直接推动了概率论的产生。
　　①伯努利创立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定理。
　　②棣莫弗和拉普拉斯导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。
　　③拉普拉斯明确给出了概率的古典定义。
　　④切比雪夫、马尔可夫建立了大数定律及中心极限定理的一般形式。
　　9、算法思想发展的历史：
　　①算法思想的历史：刘徽的《九章算术注》开创了中国传统数学构造性和机械化的算法模式。
　　②计算机算法：算法是对计算机上执行的计算过程的具体描述。

　　10、近代数学史上的两大巨匠：
　　①欧拉:把微积分应用于物理学的先驱者之一。第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，发现了著名的欧拉公式。
　　②高斯：有“数学王子”之称。重要贡献是证明了代数基本定理，发现了著名的柯西积分定理。
　　11、近代中学数学教育改革概况：
　　①贝利—克莱因运动：英国数学家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进行改革。第一次课程改革发生在20世纪初，史称“贝利—克莱因运动”。
　　②新数□□动：继美国、欧洲推进数学教育现代化后，非洲、拉丁美洲、东南亚地区都相继成立了地区性的机构，召开会议推进“新数□□动”，于是“新数□□动”波及全球，于1960年形成高潮。
　　③回到基础运动：
　　与“新数□□动”的轰轰烈烈成鲜明对比的是，“回到基础”几乎是悄无声息的进行的，既没有响亮的口号，也没有统一的纲领，其出发点是希望重新引起对基本技能的重视，但令人遗憾的是，回到基础不但没有提高教学水平，反而使数学教学回落到历史的最低谷。
　　④多样化改革的发展：
　　a.大众数学
　　b.问题解决
　　c.服务性学科