《高中数学讲义》秃头数学人

11、第九讲

　　第七章 推理证明与排列组合
　　考点：1、掌握运用推理与证明的方法。
　　2、熟练运用加法原理、乘法原理、排列组合等计数思想和方法。
　　考点聚焦：
　　1、本章知识在历年考试中大多以选择题和解答题的形式出现。
　　2、在历年考试中，排列组合等计数方法是考查的重点，推理与证明贯穿数学课程始终，考生要熟练掌握本章知识。
　　推理与证明知识结构

　　1、推理
　　（1）定义：由一个或几个已知的判断（前提），推导出一个未知的结论的思维过程。
　　（2）合情推理
　　归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。（特殊到一般）
　　归纳推理的特点：
　　①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。
　　②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。
　　③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。
　　类比推理：
　　由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
　　（3）演绎推理：
　　根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。（一般到特殊）

　　2、证明
　　（1）直接证明
　　从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常用的思维方法．
　　①综合法
　　从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法．
　　②分析法
　　从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法．

　　（2）间接证明
　　①反证法的定义
　　一般地，由证明p?q转向证明：?q?r?…?t，t与假设矛盾，或与某个真命题矛盾．从而判断?q为假，推出q为真的方法，叫做反证法．
　　②反证法的特点
　　先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等矛盾．
　　（3）数学归纳法
　　一个与自然数相关的命题，如果
　　(1)当n取第一值n0时命题成立；
　　(2)在假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立．

　　排列组合与二项式定理
　　1、两个基本原理
　　（1）加法原理（分类计数原理）：做一件事情，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法...，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法，即N=m1+m2+m3....+mn。
　　（2）乘法原理（分步计数原理）：做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法...，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。即N=m1×m2×m3×...mn
　　2、排列
　　（1）排列的定义：一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
　　（2）排列数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示.
　　（3）排列数公式：Anm=n(n-1)...(n-m+1)=
　　3、组合
　　（1）组合的定义：从n个不同的元素中任取m（m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
　　（2）组合数定义：从n个不同的元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示.
　　（3）组合数公式：Cnm=

　　4、利用排列、组合的知识解决实际问题的常用方法
　　（1）直接法
　　（2）间接法：就是剔除不符合条件的情况，也叫排除法。在直接法和间接法中常用以下方法解决排列与组合的问题。
　　（a）枚举法：将所有排列的情形一一列举出来（适用于排列数较少的问题）
　　（b）捆绑法：适用于两个（或更多）元素排在一起（看成一个元素）的问题。（例：看电影，一排六个座位，四个女生，两个男生，女生要坐在一起，有多少种坐法？）
　　（c）插空法：适用于两个（或更多）元素不相邻排列的问题。
　　（例：看电影，一排8个座位，坐一排，6个学生，2个老师，老师在学生之间且不相邻，有多少种坐法？）
　　（d）隔板法：适用于相同的元素分成若干部分，每部分至少有一个排列的问题。(例：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？)

　　5、二项式定理
　　二项式定理：（a+b)n=Cn0anb0+Cn1an-1b+...+Cnna0bn
　　二项展开式的特点：（i）展开式共有n+1项；（ii）各项的次数之和等于n；
　　（iii）a的次数由n降到0，b的次数由0升到n。
　　（2）二项展开式的系数：Cnr
　　（3）二项展开式的通项公式： Tr+1=Cnran-rbr,(r=0,1,2...n)表示二项展开式的第（r+1）项。