18、番外二 ...
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本题将利用李簙温酒次数计算景淇的迟到时间。
仅供娱乐，谢谢参观。
[模型准备]
1.木柴的燃点为700-800℃.石蜡在东汉末年发明。植物油的燃点为200-400℃,古代多采用松脂，其燃点为480-500℃.动物油的燃点为260℃.假设酒垆燃料为松脂。换算为国际单位，为便于计算，取火焰温度487+273=760K.
2.酒初始温度，即环境温度。考虑到正值秋雨，为便于计算，取其为17℃，即17+273=290K.
3.酒加热后的目标温度。理想酒温不详。根据“适宜人体健康的饮用水温度为55℃”，和尝试计算时酒能达到的最高温度，取加热后的酒温为57℃，即57+273=330K.
4.商代冶金工艺下的青铜器厚度已经可达3mm.战国数据不详。取酒的容器厚度为3mm.
5.青铜的导热系数在32-153 W/（m·K）之间，因材而异、随温度升高而减小。具体数据不详。简化模型，取导热系数为100.（误差50%以内）
6.散热时，由于空气的导热系数远远小于青铜的，为0.0267W/（m·K），极大延缓了散热速率，所以只考虑空气的散热效果。设青铜表面0.5mm外的空气即为环境温度。
7.酒的容器表面积和体积。简化模型，假设酒的容器为正方体，边长为1dm.故每一面的表面积为1dm².根据“给烧杯内液体加热时，所装液体体积不能超过烧杯容积的2/3”，取酒的体积为600ml.
8.水的比热容为4.2*10³J/(kg·℃).酒精的比热容为2.4*10³J/(kg·℃).
9.水的密度为1g/ml.酒精的密度为0.789g/ml.
10.计算酒的质量。600*(1*97%+0.789*3%)=596.202g.四舍五入取596g.
11.取青梅酒的度数为3度。
12.计算酒的比热容。4.2*10³*1*97%+2.4*10³*0.789*3%=4.074056808*10³=4.1*10³（四舍五入）即酒的比热容为4.1*10³ J/(kg·℃).
13.考虑到外焰温度、焰心和容器的接触面积,设装置的加热效率为1%.
[模型假设]
1.设酒的实时温度为T，初始温度为T₀，目标温度为T₁.设酒在这种情况下能达到的最高温度为T_max.
2.木柴的燃烧温度为T_fire。
3.青铜导热系数为K₁.空气导热系数为K₂.高温热源与低温热源的温差为△T_eco.
4.酒的容器厚度为l₁.容器表面热空气厚度为l₂.单面表面积为S.酒的质量为m.酒的比热容为c.
5.设酒从T0加热到T经过的时间为t,酒从T1冷却到T经过的时间也写作t.加热总时间为t_heat,冷却总时间为t_cool.
6.传导的热量为Q.
7.装置的加热效率为η.
[模型建立]
根据热学的导热公式、比热容公式，分别建立关于酒垆加热总时间和冷却总时间的微分方程模型。
导热公式：Q=KS△T△t/l
比热容公式：Q=cm△T
（注意两个公式中的△T含义不同）
微分方程：
加热时，dQ=ηK₁S(T_fire-T)dt/l₁-5K₂S(T-T₀)dt/l₂——(1)
易5K₂S(T-T₀)dt/l₂<<ηK₁S(T_fire-T)dt/l₁
∴方程可化为dQ=ηK₁S(T_fire-T)dt/l₁——(2)
dQ=cmdT——(3)
冷却时，dQ=6K₂S(T-T₀)dt/ l₂——(1)
dQ=cmdT——(2)
[模型求解]
加热时：
cmdT=ηK₁S(T_fire-T)dt/l₁
分离变量，
=>cml₁dT=ηK₁S(T_fire-T)dt
=>-cml₁d(T_fire-T)/η(T_fire-T)=K₁S·dt
对两边同时积分，T从T₀到T₁，
=>cml₁/η*[ ln(T_fire-T₀) - ln(T_fire-T₁)]=K₁S·t_heat
=>t_heat=cml₁*[ln(T_fire-T₀)-ln(T_fire-T₁)]/ηK₁S
代入数据，
t_heat=4.1*10³*0.596*0.003*[ln(0.01*(760-290))-ln(760-330)]/ (0.01*100*0.01)=65.21s
冷却时：
-cmdT=6K₂S(T-T₀)dt/ l₂
酒温会无限逼近环境温度，所以只计算降温到293K的时间。
分离变量，
=>-cml₂d(T-T₀)/(T-T₀)=6K₂Sdt
对两边同时积分，T从T₁到(T₀+3)，
=>cml₂ln(T₁-T₀)=6K₂St_cool
=>t_cool=cml₂ln(T₁-T₀)/6K₂S
代入数据，
t_cool=4.1*10³*0.596*0.0005*[ln(330-291)-ln(293-290)]/(6*0.0267*0.01)=1956.21s=32.60min.
[模型检验]
根据求解结果多次反向调节模型假设参数，最终，“温酒需要一分钟，酒冷却至常温需要半小时”的结果与人们的生活经验较为吻合。
[模型解释]
李簙一共等待了33.68*4≈135分钟。假设他是提前了半小时到的，则景淇迟到了105分钟。
[模型稳定性与误差分析]
模型极不稳定。青铜导热系数、青铜表面多少距离外的空气为环境温度、酒加热的目标温度、装置的加热效率都有很大的不确定性，误差可高达百分之上千。所以，作者君的设参和模型仅供大家娱乐。
谢谢阅读(*￣3￣)╭♡
From一只算了十几个小时（调参调参调参……）的蠢作者。
作者有话说
第18章 番外二
