43、第 43 章 穿梭杯数学 ...
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半决赛安排在次日下午。
上午九点，剩余四支队伍被统一叫到礼堂侧厅，进行现场抽签。
四支队伍会被分成两组，分别进行正面对抗。
获胜的两支队伍进入次日决赛，另外两支队伍，则在比赛结束后淘汰离开。
侧厅的大屏幕上滚动着四支队伍的编号。
主持老师站在台前，简单介绍完规则，按下抽签按钮。
不断变换的数字逐渐减慢。
第一组率先出现在屏幕中央。
一队对四队。
林温辞抬起头。
四队正是宋祁年所在的队伍。
身旁的孟清也也看见了，转过头：“这也太巧了吧。”
陆闻川倒没察觉气氛有什么不对，只抬手拍了拍周奇的肩膀。
“四队这几轮积分排第三，实力不弱，不过总比抽到六队好。”
周奇低头翻开刚刚发下来的半决赛规则：“能走到四强，没有哪支队伍弱。”
另一侧，秦关月看到抽签结果后，脸色明显僵硬了一瞬。
她下意识看向林温辞。
两人的目光在人群中短暂相撞，秦关月很快便移开视线。
直到几天前，她才知道十班的林温辞竟就是竞赛班的那个林温辞。
奥赛金牌，国家集训队，清大保送…自己曾经引以为傲的成绩，对方甚至不需要通过高考证明。
更难堪的是，期末考试成绩公布时，她还曾在班上讨论过，林温辞那两门满分的数学和物理八成是买答案抄的，又或是撞大运考得好。
那时候她甚至觉得，宋祁年把自己整理的笔记送去十班，简直是在浪费时间。
主持老师宣布四支队伍依次上台，进行赛前握手。
林温辞队站在左侧。
四队从另一边走来。
轮到林温辞时，站在她面前的恰好是秦关月。
少女的手停在身侧，迟迟没有抬起。
林温辞神色如常，主动向她伸出手。
“好好比赛。”
秦关月怔了一下。
她看向那只手，短暂犹豫后，还是伸手握住。
林温辞没有故意加重力道，也没有露出任何讥讽，仿佛过去那些自以为隐蔽的比较与评价，她根本没有放在心上。
这种平静反而让秦关月脸上更加发热。
“之前…”她刚开口，声音便卡在喉咙里。
台下还有许多人，主持老师也在催促队伍继续向前。
秦关月最终只能低声说道：“对不起，我不知道。”
林温辞明白她的意思。
“现在知道也不晚。”
语气平静，不算亲近，却也没有刻意为难。
秦关月抿住嘴唇，松开手，转身走回队伍。
宋祁年站在最后。
两人面对面时，都停顿了一瞬。
少年伸出手。
林温辞与他轻轻握住。
“比赛见。”她说。
宋祁年没有避开她的目光。
“嗯。”
“比赛见。”
——
半决赛采用四轮一对一阶梯夺分制。
每支队伍的四名成员分别负责一轮，且不能重复出场。
四轮的能力方向提前公布，依次为严谨证明、结构识别、动态推演与综合开放题。
双方需要在十分钟内确定出场顺序。
顺序一旦提交，中途不得更换。
每一轮分为三个阶段。
第一阶段，双方独立解题二十五分钟。
第二阶段，依次展示完整思路。
第三阶段，评委会临时修改一个条件，要求选手当场修正原有结论。
每轮总分十分。
正确性占六分，证明完整性占两分，临场修正占两分。
四轮结束后，总积分更高的一方晋级。
“第一轮你上。”林温辞看向周奇。
他点头，严谨证明本就是他最稳定的方向。
“第二轮清也，第三轮陆闻川。”
“你压轴！”孟清也道。
“嗯。”
林温辞提笔在出场顺序表上写下四人的名字。
另一侧准备区，四队也在商量安排。
“最后一轮肯定是林温辞。”周斯越压低声音。
“宋祁年，你…”秦关月看向宋祁年，犹豫道，“你没必要一定对她，我可以最后一轮。”
宋祁年没有马上回答。
他低头看着规则表上的四个题型。
从抽签结果出来以后，他便知道自己大概率会与林温辞正面对上。
只要两队都将核心成员放在最后一轮，这场较量便无法避免。
他也知道，自己赢不了她。
过去，他或许会因为害怕结果太难看，主动避开。
就像那次竞赛班考试之后，他不敢再参加类似的筛选，也不愿意承认自己其实还想继续。
仿佛只要不再面对，就能避免下一次失败证明自己确实不够好。
可现在，宋祁年只沉默了几秒。
“不换。”
秦关月皱眉：“可是…”
“不用换。。”他拿起笔，在第四轮的位置写下自己的名字。
队友们都安静下来。
宋祁年将顺序表递给工作人员。
从始至终，没有再朝林温辞那边看。
——
下午一点，半决赛正式开始。
礼堂中央临时搭起两个相对独立的答题区。
两支队伍分别坐在两侧，正前方是选手展示用的黑板与电子屏，带队老师和评审则坐在观众席。
主持老师宣布双方出场顺序。
“一队第一轮选手，周奇。”
“四队第一轮选手，秦关月。”
听见自己的名字，秦关月深吸一口气，从座位上站起，与周奇分别走进答题区。
工作人员同时发下题目。
第一轮是一道正整数递推证明题。
给定正整数数列，满足：
数列中每一项都能整除其后两项之和，并且从第三项开始，每一项都严格小于前两项之和。
要求证明，在满足初始条件的情况下，数列最终只可能进入两类周期结构，并找出所有可能的初始值。
题目看似条件不多，真正推导起来却存在大量细节。
秦关月读完题目，迅速在草稿纸上写下前几项。
她先从奇偶性入手，再利用整除关系限制后一项的取值范围。
不到十分钟，已经找出两个可能周期。
她抬头看了一眼时间，明显松了口气。
另一边，周奇却仍停留在第一张稿纸上。
陆闻川看得着急。
“他怎么还没往后推？”
林温辞的目光落在周奇列出的几行式子上。
“他在检查定义域。”
“正整数有什么好检查的？”
“零值不会出现，但相等情况、临界情况和倒推时的重复，需要分开。”
陆闻川重新看向答题区。
周奇没有像秦关月一样大量枚举后续数列。
他先将题目中的严格不等式拆成三种情况，再证明除临界值外，数列从某一项开始必然下降。
随后利用正整数不能无限严格下降，推出它必须进入周期。
整个过程中，他写得不算快，却几乎没有涂改。
二十五分钟结束。
主持老师请双方停笔。
按照抽签结果，由秦关月先进行展示。
她走到黑板前，将自己找到的两个周期写下：“根据整除关系，可以证明连续三项的最大值不会持续增加。”
“因此数列最终会进入有界状态。”
“对小范围正整数进行分类后，可以得到以下两类周期……”
她的主线思路很清楚，最后结论也与标准结果基本一致。
台下不少人低声讨论，显然认为她发挥不错。
讲解结束后，第一位评委抬起头。
“你的证明中提到，连续三项的最大值不会增加。当两项恰好相等时，这一步仍然成立吗？”
秦关月愣了一下。
她重新看向黑板。
刚才为了尽快推进，她默认最大值唯一。
若前两项相等，后一项又处于临界值，原来的严格下降无法直接成立。
“相等时…”她拿起粉笔，试图补充，“可以单独讨论。”
“怎么讨论？”评委追问。
秦关月在黑板旁写出一个新的递推关系，可计算到第四步时，她发现临界状态并不会立刻进入自己列出的周期。
必须继续向后推，或者重新寻找一个更严格的不变量。
剩余补充时间只有两分钟。
她额角逐渐冒出细汗：“我暂时只能确认主结论不变，但这一种临界情况的证明还不完整。”
评委点点头，没有继续为难。
轮到周奇。
他抱着稿纸走到黑板前，先写出一个极为简单的符号定义。
“设连续三项中的最大值为M。”
“这里需要区分最大值唯一和最大值重复两种情况。”
他的语气平稳，没有故意看向秦关月，也没有借机指出对方的遗漏。
第一种情况下，利用整除关系可以证明M在有限步内严格减小。
第二种情况下，他直接将相等的两项代回原式，分成临界值等于一、等于二与大于二三种情况。
“当临界值大于二时，下一项只能落在这两个区间。”
“其中一区间会重新回到最大值唯一的情形，另一区间则在两步后进入第一种周期。”
“因此，相等情况不会产生新的最终结构。”
他翻过稿纸：“但初始值为一时，前面的下降论证不成立，需要单独检查。”
周奇自然地写出所有可能，没有刻意停顿，也没有看台下反应，仿佛将这些被别人忽略的部分一一补齐，只是完成一道证明题最基本的要求。
陆闻川看得目瞪口呆：“他连一都单独算了？”
孟清也忍不住笑：“别人是证明答案，他是把出题人能问的东西全提前写了。”
林温辞看着黑板上的推导，认真道：“他做得很好。”
完整展示结束，评委宣布变化条件。
将原题中“每一项都能整除其后两项之和”，改为“每一项都能整除其后两项之差的绝对值”，其余条件不变。
要求判断原有结论是否仍然成立。
秦关月脸色微变，原本用和限制范围的方法几乎全部失效。
她在草稿纸上快速枚举，试图找出反例。
几分钟后，确实找到一组不进入原有周期的初始值，可她只能证明原结论不成立，无法进一步说明新结构。
周奇则先保留原有的最大值分析，将“和”改成“差”以后，整除条件更强。
若后一项小于前一项，绝对值会直接缩小。
他很快证明，大多数初始值会进入二周期。
随后在临界值处找到一个额外的四周期。
评委要求他构造反例。
周奇没有重新计算，直接从刚才的分类中取出最小一组数写到黑板上，正好满足全部条件。
十分钟结束。
大屏幕上很快出现第一轮得分。
秦关月：七点二分。
周奇：九点六分。
差距不算夸张，却没有任何争议。
秦关月看着屏幕，抿了抿嘴唇。
她输得心服口服。
自己的主结论并没有错，只是周奇比她多看见了所有可能出问题的地方，并且一个也没有漏掉。
两人下台前按照规则握手。
周奇对她微微点头：“你的主线是对的。”
秦关月怔住。
周奇继续说道：“相等情况单独拆出来，证明就完整了。”
他的语气真诚，没有胜利者居高临下的安慰。
秦关月沉默片刻，低声说：“谢谢。”
回到座位后，她将稿纸放在膝盖上。
宋祁年递给她一瓶水：“没事，后面还有三轮。”
秦关月拧开瓶盖，却没有立刻喝，回头看了一眼周奇：“他很厉害。”
宋祁年也看向另一侧。
周奇刚坐下，陆闻川便兴奋地拍了拍他的肩膀。
孟清也在旁边说着什么。
林温辞则将一张纸递给他，似乎在讨论最后一个变化条件。
“嗯。”宋祁年回答，“很厉害。”
另一边，陆闻川依旧停不下来：“周奇，你刚才也太稳了。”
“秦关月都把答案做出来了，我还以为最多只差一点。”
“本来就只差边界。”周奇拧开水瓶，“这种题，边界就是大部分分数。”
孟清也笑着说：“你赢得也太轻松了，连庆祝一下都没有。”
周奇被他们说得有些不自在：“还有三轮。”
林温辞看向他：“赢得很漂亮。”
周奇愣了一下，终于笑了笑。
——
第二轮是结构识别。
孟清也对上四队中擅长几何的方牧。
题目给出一组经过多次折叠与截切的空间结构，只保留最终投影图，要求还原原始多面体，并证明其中三组截面面积关系。
孟清也很快找到关键辅助平面，她的构造甚至比标准方法更加简洁。
可在展示时，她为了省略重复步骤，没有说明其中两个平面必然相交于同一直线。
评委在变化条件中将一个截面角度改动后，这个被省略的位置恰好成为关键。
孟清也虽然及时补出，却耗费了不少时间。
对方选手的构造不如她漂亮，整体却更稳。
最终得分：
孟清也八点四分。
方牧八点八分。
总分差距缩小到两分。
孟清也下台后，有些懊恼地拍了拍额头：“我明明看出来了，怎么就没写？”
周奇将水递过去：“只差零点四。”
“但这零点四本来不用丢！”
“你的构造更好。”林温辞说，“扣分是表达问题，不是思路问题。”
孟清也叹了口气，很快又重新坐直：“行，等比赛结束，我把完整证明写十遍。”
陆闻川忍不住接话：“倒也不用这么折磨自己。”
第三轮是动态推演。
题目为一组带隐藏条件的数列博弈。
双方选手每轮可以对数列执行一次操作，目标是在有限步内迫使对方进入无解状态。
陆闻川最先发现一个长度为六的循环。
周斯越则通过反推找到更短的必胜策略。
两人的展示各有优势。
变化条件加入一次“跳过操作”后，陆闻川利用原来的循环成功构造反制，对方也及时调整。
最终双方同得八点五分。
前三轮结束。
一队总分二十六点五分。
四队总分二十四点五分。
只差两分。
最后一轮总分十分。
若宋祁年在这一轮领先林温辞超过两分，四队仍然可以反超。
主持人走上台，宣布第四轮出场选手。
“一队，林温辞。”
礼堂内响起一阵低低的议论声。
“四队，宋祁年。”
宋祁年从座位上站起。
从队伍席走向答题台的距离并不远。
可周围每一句压低的交谈，似乎都格外清楚。
“真是他们两个。”
“同一个学校的吧？”
“最后一轮碰到林温辞，太倒霉了。”
“国家集训队，怎么比？”
宋祁年的手心逐渐渗出汗。
他忽然想起那场竞赛班筛选考试，也是这样的考场，也是周围压低的声音。
有人说题目不难。
有人早早交卷。
而他坐在最后一排，盯着一道始终解不出来的题，第一次如此清晰地意识到，自己和真正聪明的人之间也许隔着一道无法跨越的鸿沟。
考试结果出来后，他没有进入竞赛班。
那张排名表像一个判决，他用此后很长时间证明自己仍然优秀，却再也不敢回头看那场失败。
仿佛只要看一眼，便会再次确认，所有努力都只是自欺欺人。
宋祁年走到答题台旁。
林温辞从另一侧走来。
按照赛前礼仪，两人需要握手。
少年伸出手，声音低得只有她能听见：“我不会因为是你就放弃。”
林温辞看着他：“我也不会让你。”
宋祁年抬起眼。
她的神情十分平静。
没有安慰，也没有怜悯，像面对任何一个真正值得认真对待的对手。
他忽然明白，这句话已经是她能给出的最大尊重。
若她故意放慢速度，或者在他答不出来时留下机会，那才是在告诉所有人，他们从一开始便不处于同一个位置。
“好。”宋祁年握紧她的手，又很快松开，“那就别让我。”
——
第四轮题目被同时送入两个答题区。
这是一道关于最少信息与唯一确定的开放题。
给定一组编号未知的对象，每次只能选择其中若干个对象提出一次询问，系统只会回答目标对象是否位于所选集合中。
要求设计一种询问策略，在最坏情况下用最少次数确定目标对象。
第一问给出十六个对象。
第二问要求推广至任意正整数个对象。
第三问则要求证明询问次数不能进一步减少。
宋祁年读完题目，脑中短暂空白。
他下意识抬头。
林温辞已经在稿纸上写下第一行。
过去熟悉的自卑几乎瞬间涌了上来。
她会比他快，会比他完整，甚至可能在他还没理解题意时便已经得到最终答案。
手中的笔微微收紧。
宋祁年强迫自己将目光移回题目。
不看她，先看四个对象。
若每次只能得到“是”或“否”两种回答，可以先将四个对象分成两组。
一次询问后剩两个，再问一次便能确定。
八个对象，需要三次。
十六个对象，需要四次。
规律很明显。
但题目显然不会只考这个。
真正的难点是，当对象数不是二的整数次幂时，怎样分组才能保证最坏情况最优。
宋祁年在纸上画出一棵树。
每次回答都将可能范围分成两个分支，若两边数量差距太大，最坏情况下便会落入更大的那一边，增加后续询问。
所以最优策略不是每次随意排除一部分，而是尽可能让两种回答后剩余的可能数量相近。
他从三个对象开始。
第一次选一个还是两个，效果相同。
五个对象，则应分成二和三。
六个对象，分成三和三。
七个对象，分成三和四。
每一次都尽量均分。
随着树状图逐渐完整，宋祁年的呼吸也慢慢平稳下来。
他不再注意林温辞写到了哪一页，也不再想自己是否会输，只是专注地将每个分支补齐。
观众席上，陆闻川看清宋祁年的稿纸后，不自觉坐直身体：“他这个分法很好。”
周奇点头：“他考虑的是最坏情况，不是平均次数。”
孟清也也有些惊讶：“前几轮没看出来，他综合题这么强。”
林温辞的稿纸上没有画出大量具体分支。
她在验证完十六个对象需要四次后，便直接将问题转化成一棵二叉决策树。
每次询问只有两种结果。
若最多询问k次，决策树最多拥有二的k次方个叶节点。
每个对象必须对应至少一个独立叶节点。
因此，要区分n个对象，必须满足二的k次方不小于n。
这给出了理论下界，只要构造一棵深度为k的决策树，并让每次询问尽量均分剩余对象，便能达到这个下界。
上界与下界相同，最小询问次数因此被唯一确定。
她没有停留在具体数字上。
宋祁年找到了一条足够优秀的路，她却已经站在更高的位置，看见为什么所有最优道路最终都必须拥有相似的结构。
二十五分钟很快结束。
宋祁年放下笔，低头看着自己画出的完整决策树。
十六个对象的构造没有问题，任意对象数的策略也基本清楚，可第三问中“证明不能进一步减少”，他仍然缺少一个严谨的结论。
他知道答案与每次只能得到两类信息有关，却无法在短时间内将这种直觉写成完整证明。
主持人宣布由四队选手先展示。
宋祁年拿着稿纸走上台。
若是几个月前，他可能会因为自己尚未完成最后一问而感到难堪，甚至觉得前面所有正确推导都失去意义。
这一次，他只是深吸一口气，从最小规模的情况开始讲起。
“每次询问以后，剩余对象会被分成两个集合。”
“为了降低最坏情况下需要的询问次数，两个集合的规模应尽量接近。”
他在黑板上画出分支，从四个对象，到八个对象，再到十六个对象，每一个分支都清楚明确。
推广到任意正整数时，他采用向上取整的方式，构造出一棵高度固定、部分叶节点为空的决策树。
台下逐渐安静下来。
原本认为他只能勉强完成部分题目的人，也开始认真看向黑板。
讲到第三问，宋祁年停顿了一下。
评委问：“你已经证明这个次数足够，如何证明不存在另一种更高效的询问策略？”
少年看向自己未完成的最后半页。
短暂沉默后，他坦然回答：“我目前只能证明这个构造可以达到所写次数，还不能完整证明更少次数一定不可能。”
评委点头：“继续讲你完成的部分。”
宋祁年没有慌乱，也没有试图用含糊的话将漏洞掩盖过去。
他将自己的构造完整讲完，随后放下粉笔。
轮到林温辞。
她走上台，没有重新从十六个对象开始枚举，只在黑板中央画出一个二叉树。
“每一次询问只能得到两种回答。”
“因此，若最多允许询问k次，全部可能的回答序列最多有二的k次方种。”
“要唯一确定n个对象，每个对象必须对应至少一种不同的回答序列。”
她写下不等式，随后得出最少询问次数的理论下界，整个过程只有几行，却将第三问中最难的部分直接封死。
宋祁年坐在答题席，看着她继续推导。
他第一次如此直观地看清两人之间真正的差距。
不是她比自己多做了几道题，也不是因为她提前接触过更高年级的内容。
他花费大量时间从三、四、五个对象开始归纳，终于找到正确的构造，她却能将所有具体情况抽离，直接看见问题背后的信息结构。
当自己走到一条道路尽头时，她已经看见这条路为何最短，又为什么不可能存在比它更短的路。
这种能力确实望尘莫及。
可意料中的难堪没有出现，宋祁年只是震撼。
他终于足够靠近，近到能真正看懂她究竟有多强。
过去，当他不知道差距具体在哪里时，林温辞的一切都像一种模糊的压迫。
她轻易获得的成绩，衬得他的努力毫无价值。
她收下那本笔记，也像强者对弱者自尊的照顾。
可是现在，他能看懂她的证明。
能知道她不是凭借一个模糊的天才名号胜过自己。
她的每一步都有逻辑，每个结论都有来源。
她站得比自己高，却不是为了俯视任何人。
林温辞完成下界证明后，目光落到宋祁年刚才画出的决策树上：“达到下界，还需要一个对应构造。”
她没有重新画一棵新的树，而是直接指向宋祁年的答案：“前一位选手采用逐层均分的方式，使最深叶节点的高度正好等于这个下界。”
“因此，他给出的询问策略已经是最优策略。”
宋祁年猛地抬起头。
林温辞的语气客观而平静。
没有刻意夸奖，只是陈述一道证明中不可缺少的事实：“他缺少的是最少次数的下界证明，并不是构造本身存在问题。”
观众席上响起一阵低低的议论。
几名评委也点了点头。
宋祁年看向自己稿纸上那棵画得密密麻麻的树，他原本以为，缺少最后的证明，便代表自己的方法仍然不够好。
林温辞却用她的答案告诉所有人，他确实抵达了最优，只是还没能证明自己已经走到了那里。
那一瞬间，竞赛班门外的排名表忽然变得很遥远。
他没有通过那次筛选，这是事实。
可他如今站在一百支队伍中最后四支队伍的赛场上，在全国半决赛的综合题中，给出了能够达到理论下界的构造。
他面对林温辞，没有空白，没有逃避，也没有彻底溃败。
那场考试只发生过一次。
一套试卷，一个下午，一次排名。
他究竟为什么会觉得，那张纸足以定义自己以后全部的能力？
又为什么会因为没能进入一个班级，便将所有比自己优秀的人都变成证明自己失败的证据？
真正可笑的，从来不是他当初没有考进去，而是他竟然用一次失败，提前替自己判完了此后所有结果。
林温辞展示结束后，评委宣布变化条件。
原本每次询问只能得到“是”或“否”两类确定回答，现在加入第三类回答：“不确定。”
当系统回答“不确定”时，只能知道目标对象位于两个指定集合的交叠区域，却无法得知它具体属于哪一侧。
要求双方重新设计询问策略，并讨论最坏情况下的询问次数。
宋祁年低头看题。
原来的二叉树无法直接使用。
第三类回答看似增加了一种结果，实际却不是独立信息，它对应的是两个集合的交叠部分。
若交叠过大，一次询问几乎没有意义。
若交叠过小，又无法充分利用第三类回答。
他最初试图将原来的均分策略直接改成三等分。
计算两步后便发现不对。
三种回答携带的信息并不相等。
“是”与“否”可以完全排除一部分对象。
“不确定”只能将范围缩小到交叠区域。
宋祁年划掉原来的图，重新从三个对象开始。
如果选择两个相互交叠的集合，使其中各有一部分独立区域，再保留一个较小的共同区域，那么三种回答分别对应左侧、右侧和中间。
不确定并非完全没有信息。
只要交叠区域控制得足够小，它同样可以排除大量对象。
他快速画出一个新的分支结构，第一次询问将对象分成三部分，左右两部分大小相近，中间部分稍小。
若回答确定，则进入左右分支。
若回答不确定，则落入中间交叠区域。
之后再根据区域大小继续划分。
这不是理论上的最优构造，却确实能够完成任务。
剩余时间不到一分钟时，宋祁年写下最终策略。
另一边，林温辞只用了几分钟便将原来的二叉结构推广。
她没有把三种结果当成等价分支，而是根据信息损失，给每类回答设置不同权重。
“不确定”分支携带的信息更少，因此其对应的对象数量必须小于另外两支。
她先求出最坏情况下的平衡比例，再用递推式给出询问次数上界。
时间结束。
宋祁年先展示。
他坦言自己的策略未必最优，却清楚证明在有限步内一定能确定目标。
评委连续追问两次。
“如果交叠区域中的对象数为奇数，下一步怎样划分？”
“将多出的一个对象放入确定分支，不放入交叠区域。”
“为什么？”
“因为不确定分支的信息效率更低，应优先保证它不扩大。”
评委点头：“如果第一次询问得到了不确定回答呢？”
宋祁年迅速在黑板上继续画出第二层：“重新选取两个交叠集合，交叠规模减半。连续出现不确定回答，也能保证剩余范围严格缩小。”
台下，陆闻川已经完全坐直：“他居然真改出来了。”
孟清也也有些惊讶：“而且不是硬套原来的方法。”
周奇看着黑板：“临场反应很好。”
宋祁年放下粉笔，胸口仍因紧张而剧烈起伏，脑中却前所未有地清醒。
他做到了。
不是在自己熟悉的教室。
不是在没有人注视的草稿纸上。
而是在全国四强的半决赛中，面对林温辞，面对评委和所有观众。
他完成了过去认为自己不可能完成的事。
轮到林温辞展示。
她将三类回答对应成不同权重的分支。
随后证明，在最坏情况下，最优策略不应追求对象数量的三等分，而应追求各分支剩余信息代价的平衡。
评委临时追加问题：“如果不确定回答出现的次数受到限制呢？”
“将限制次数作为新的状态变量。”林温辞在原递推式旁增加一个维度，“剩余对象数相同，但允许出现不确定回答的次数不同，对应的最优策略也不同。”
另一名评委继续问：“若每次提出不同规模的集合，询问成本也不同？”
“如果成本函数是凸函数，可以通过动态规划寻找最优划分。”
“如果不是凸函数呢？”
林温辞停顿片刻：“未必存在统一形式的最优策略。”她没有为了表现得无所不能而继续给出未经证明的结论，“需要具体分析成本函数，也可能存在多个局部最优。”
几名评委交换了一下眼神。
负责主评的温兆生低头在评分表上写下最后一笔。
大屏幕很快显示最终得分。
宋祁年：八点六分。
林温辞：十分。
礼堂内响起掌声。
宋祁年看着那个分数，心里没有不甘。
八点六分，已经比他赛前想象中高得多。
而林温辞的十分，同样没有任何值得质疑的地方。
她赢得毫无悬念，却没有让他的答案因此显得毫无意义。
四轮结束，最终总分公布。
一队：三十六点五分。
四队：三十三点一分。
主持老师宣布：
“一队晋级决赛！”
观众席响起更热烈的掌声。
孟清也第一个从座位上跳起来，抱住周奇和陆闻川。
陆闻川激动得差点将桌上的水打翻。
四队的几名成员则安静坐在原位。
秦关月低头看着自己的评分表。
片刻后，她呼出一口气，主动站起身。
四名选手需要再次走到场地中央握手。
周奇与秦关月面对面。
秦关月伸出手：“刚才那道题，我回去会把临界情况重新写一遍。”
周奇握住她的手：“你的主证明没有问题，补起来不会很久。”
秦关月点点头。
这一次，她没有因为输掉比赛感到羞辱，只是清楚看见了自己缺少什么。
轮到林温辞与宋祁年。
少年站在她面前。
两人握住手。
“我输了。”他说。
林温辞没有用“已经很好了”之类的话安慰他，只是点了点头：“嗯。”
宋祁年嘴角轻轻绷住。
林温辞继续说道：“但你的构造是最优解。”
宋祁年安静几秒，随后忽然笑了一下：“我知道。”
这是两人发生冲突以后，他第一次真正对她露出笑容。
他知道自己为什么输，也知道自己究竟做对了什么。
差距依旧存在，可它不再能将他的全部价值一并吞没。
——
比赛结束后，一队被工作人员留在场内拍摄决赛宣传照。
四个人站在写有“决赛晋级队伍”的展板前。
孟清也挽着林温辞的胳膊，笑得眼睛弯起。
周奇站在另一侧，手中还拿着半决赛的评分表。
陆闻川则抢过工作人员刚发下来的决赛资料袋，非要把“决赛队伍”四个字露在最前面。
快门按下。
白光闪过。
“温温，我们进决赛了！”
离开展板以后，孟清也仍然处于兴奋之中。
“真的只剩最后一场。”
“你说我们会不会拿冠军？”
陆闻川立刻接话：“把‘会不会’去掉。”
“咱们半决赛都赢成这样了，明天正常发挥肯定行！”
周奇低头研究另一组结果：“六队晋级，他们综合题很强，不能掉以轻心。”
“知道知道。”陆闻川将资料袋抱进怀里，“周大管家，你能不能先让我们高兴五分钟？”
孟清也拉着林温辞的手：“温温，你怎么不说话？”
林温辞回过神：“在听。”
“那你觉得我们能拿第一吗？”
三个人同时看向她。
她的目光短暂落在资料袋最下方的颁奖流程上。
十二月十七日。
二十点十七分。
“能。”她轻声回答。
以他们目前的状态，只要不出现意外，赢得决赛并不困难。
孟清也立刻欢呼一声。
陆闻川已经开始讨论冠军奖金的用途。
没有人发现，林温辞说出那个“能”字时，手指在衣袖下慢慢攥紧。
最后一场。
对其他人而言，是距离冠军只剩一步。
对她而言，却是距离离开这里只剩一步。
——
被淘汰的队伍需要在当晚收拾行李离开。
林温辞吃过晚饭，从组委会办公室取回决赛证件。
回到宿舍楼前时，正好看见四队几个人拖着行李箱从门内出来。
秦关月与另外两名队友先去校门口办理手续，宋祁年落在后面，低头检查书包侧袋。
冬日的天黑得很早，宿舍楼前的路灯已经亮起。
昨夜落下的薄雪还留在花坛边缘，被往来的鞋印踩得凌乱。
林温辞停下脚步。
宋祁年也看见她。
两人隔着几步距离对视片刻。
林温辞先走过去。
“都收拾好了？”
“嗯。”
宋祁年将参赛证放回包中。
林温辞点点头。
短暂沉默后，她向他伸出手。
宋祁年微微一愣。
“今天打得很好。”她说。
少年看了一眼她伸出的手，最终还是握住。
与赛场上不同，这一次周围没有评委，也没有观众。
两人的手在昏黄灯光下轻轻交握。
林温辞没有立即松开：“还有之前的事。”
她认真看向他。
“我还是应该向你道歉。”
宋祁年脸上的神情微微收紧。
“我确实没有主动骗你，但我知道你们误会了，也一直没有说清楚。无论当时有什么理由，这件事让你觉得自己被愚弄、被轻视，是我的问题。”
她没有再解释自己为什么收下那些笔记，也没有说是为了保护他的自尊。有些解释即使出于善意，站在被隐瞒的人面前，依旧像另一种伤害。
“对不起，宋祁年。”她说得郑重。
宋祁年沉默许久，目光不自觉落到两人交握的手上。
少女的手指有些凉。
他耳后悄悄泛起一层薄红：“我接受。”
声音比平时低了一点，他停顿片刻，又补充道：“我之前也说得太重了。”
“你生气很正常。”
“但我确实不该说你是在看笑话。”宋祁年抬起头，“你今天没有让我。”
“嗯。”
“你也没有因为我没做完证明，就觉得前面的答案都没用。”
林温辞看着他：“因为本来就有用。你只是没来得及证明它最优，不代表它不是最优。”
宋祁年唇角微微弯起：“我现在知道了。”
两人松开手。
过去几日横在他们之间的尖锐情绪，似乎终于随着这场比赛落下。
没有谁假装事情从未发生，也没有谁必须彻底否定自己当时的感受，只是误会被说清，歉意被接受。
两个人终于重新站回了平等的位置。
远处传来秦关月的声音：“宋祁年，车要来了！”
“知道了！”
他回头应了一声，拉起行李箱：“我走了。”
“路上小心。”
宋祁年点头，转身向校门方向走去。
行李箱的轮子压过薄雪边缘，发出轻微声响。
林温辞看着他的背影，正准备回宿舍。
走出十几步后，宋祁年却忽然停下来。
他背对着她站了几秒，像是在犹豫一件极难开口的事，随后转过身。
“林温辞。”
“嗯？”
“我们现在…”他说到一半，声音停顿。
耳后的红色尚未完全褪去。
“算朋友吗？”
林温辞愣了一下。
少年站在路灯下，神情看似平静，握住行李箱拉杆的手却明显有些用力。
她很快笑起来：“当然算。”
宋祁年肩膀悄悄放松，他移开视线，似乎觉得这样直接询问有些难为情：“那以后有不会的题，我可以问你吗？”
“可以。”
林温辞顿了一下，故意将语气放得轻松：“不过你的笔记也要继续借我。”
宋祁年重新看向她。
起初像是没有明白，很快，他意识到她并非讽刺。
那本笔记不是一场笑话。
即使她的数学远强于自己，也不代表他认真整理的其他内容毫无价值。
朋友之间也并不是只能由一个人不断向另一个人索取帮助。
宋祁年眼底的最后一点紧绷彻底散去：“没问题。”
校门口再次有人叫他。
他拉着行李箱往前走了两步，又回头认真说道：“明天比赛不要给自己太大压力。”
林温辞脸上的笑意微微停顿。
宋祁年没有发现。
“正常发挥就行，这里没有人能赢你。”
他说这句话时没有自卑，也没有嫉妒，只是在亲眼见证过她的实力以后，给出一个足够客观的判断。
林温辞却忽然想起江序在电话里的声音。
你想做的事，都会做到。
身边的每一个人都相信她会赢。
孟清也期待冠军。
周奇和陆闻川相信只要正常发挥便不会输。
江序相信她想做的事一定能够做到。
如今连宋祁年也告诉她，这里没有人能够赢她。
可只有她知道，冠军并不只是一座奖杯。
它是回到二十九岁的入口。
林温辞强迫自己重新露出笑容：“好。”
她抬手挥了挥。
“决赛结束后再联系。”
宋祁年也向她挥手。
“决赛加油！”
少年转过身，拖着行李箱走向校门。
他的背影渐渐融入夜色。
这一次，两人之间没有愤怒，也没有误解。
他们在最公平的赛场上完成了一次真正的较量。
他看清她的强大，也终于看清自己的能力。
林温辞站在原地，直到宋祁年的身影消失在路口，才慢慢放下手。
“朋友？”身后忽然传来一道故意拖长的声音。
林温辞回过头。
孟清也从宿舍门边探出半个身体，脸上写满了藏不住的八卦。
“你什么时候来的？”
“没多久。”她快步跑过来，挽住林温辞的胳膊，“也就从’我们算朋友吗’开始吧。”
林温辞无奈地看她：“偷听别人说话不好。”
“我哪有偷听？宿舍门口是公共区域！”孟清也故意清了清嗓子，模仿宋祁年方才的语气，“林温辞，那以后有不会的题，我可以问你吗？”
“别闹。”
“他耳朵都红了。”
“外面冷。”
“外面冷为什么只有耳朵红？”
孟清也满脸不信。
“你们刚才还握手了，握了那么久。”
“是在道歉。”
“道歉就道歉，为什么最后还要问算不算朋友？”
陆闻川正好从楼里出来。
“谁算不算朋友？”
孟清也立刻松开林温辞，转头瞪他：“关你什么事？”
“我就问问。”
“问决赛题去！”
陆闻川莫名其妙地挨了顿怼，满脸困惑地看向周奇。
周奇抱着资料跟在后面，显然不打算参与。
“明天的出场顺序还没定。”他看向林温辞，“要不要现在讨论？”
“你们先看。”林温辞低声说，“我有点累，想休息一会儿。”
孟清也脸上的调侃稍微收敛。
“温温，你身体不舒服吗？”
“没有，只是今天比赛时间太长”
“那快回去！”孟清也拉着她往楼内走，“一会儿我给你泡麦片。”
林温辞跟着几人回到宿舍。
桌上已经摆满决赛材料，半决赛成绩单被陆闻川压在最下面。
最上方是明日流程。
上午九点进行决赛第一阶段。
下午四点结束全部比赛。
晚上二十点，进入颁奖仪式。
冠军奖杯于二十点十七分正式颁发。
孟清也与周奇很快开始讨论六队前几轮的表现。
陆闻川拿出草稿纸，分析对方可能采用的出场顺序。
“他们最后一轮肯定派那个姓贺的。”
“第一轮呢？”
“可能是队长。”
“但如果他们想把最强的人放在第二轮…”
几人的声音在宿舍中交错。
林温辞坐在床边，目光却始终停在赛程最后一行。
这里没有人能赢你。
宋祁年的话再次浮现在耳边。
赢已经不是一个需要竭尽全力追求的结果。
以她的能力，只要像过去每一场比赛一样正常发挥，它便几乎必然发生。
这才是最可怕的地方。
她甚至不需要做出主动选择，只要顺着所有人的期待继续向前，时间便会替她将那条闭环完成。
“温温？”
孟清也叫了她一声。
林温辞没有听见。
“温温！”孟清也走到她面前，伸手晃了晃，“你真的没事吗？”
林温辞回过神：“没事。”
“我们刚在问你，最后一轮还由你上吗？”
她低头看着赛制：“明天再决定吧。”
三人都有些意外。
过去的比赛里林温辞几乎从不将出场安排拖到最后。
周奇看了她一会儿，没有追问：“也好，今晚先休息。”
林温辞点头。
她从书包里取出《因果边界》，那张画满箭头的纸仍夹在其中。
“你又要去图书馆？”孟清也问。
“嗯。”
“都这么晚了。”
“阅览室十点才关。”
林温辞将外套重新穿好：“有件事还没想明白。”
孟清也本想陪她，却被周奇叫住讨论第一轮人选，最后只能叮嘱：“早点回来。”
“知道了。”
林温辞抱着书，独自走出宿舍。
楼道里的感应灯随着她的脚步一盏盏亮起。
窗外夜色深沉，风卷着细碎的雪粒擦过玻璃。
校园里已经没有多少人，远处的阅览室透出一片昏黄灯光。
她推门进去。
管理员坐在前台看报，没有抬头，只提醒了一句十点闭馆。
林温辞走到最角落的位置坐下。
将书放在桌面。
又取出那张已经被反复折叠过的纸。
作者有话说
第43章 第 43 章
