《星轨之间》鹤鹿鸣归山

7、第7章：竞赛班的双重奏

　　2012年11月1日，周四，晚10点58分

　　陆星衍站在窗前，手里拿着刚折好的纸飞机。

　　今晚的纸飞机是改良版——他研究了整整两小时空气动力学论文（当然是简化版），调整了翼展比、重心位置和折角精度。纸张用的是80克的道林纸，既不过轻影响稳定性，也不过重降低滑翔比。

　　对面阳台，沈清辞也在准备。他拿着一张淡蓝色的纸，折法很随意，但动作流畅，像是折过无数次。折好后，他举起纸飞机，朝这边晃了晃。

　　陆星衍点头。

　　两人同时后退，助跑，投掷。

　　两道白色（和一道淡蓝色）的弧线划过夜空。陆星衍的纸飞机平稳滑翔，沈清辞的则打着旋儿，像一片落叶。但奇迹般地，两架纸飞机都成功飞越了二十米的距离——陆星衍的降落在沈清辞阳台边缘，沈清辞的则轻轻撞在陆星衍的窗玻璃上，滑落到窗台。

　　沈清辞兴奋地挥了挥拳，然后小心翼翼地捡起陆星衍的纸飞机。陆星衍也打开窗户，拿起那架淡蓝色的。

　　展开。

　　沈清辞的纸飞机上写着：“明天数学竞赛班选拔，一起？”

　　字迹潦草，但有力。旁边画了个小小的篮球。

　　陆星衍从书桌上拿起笔，在自己的纸飞机背面写道：“好。晚自习后三楼阶梯教室？”

　　他重新折好纸飞机，投回去。这次没用力，纸飞机轻盈地滑翔，正好落在沈清辞脚边。

　　沈清辞展开，看完后抬起头，做了个“OK”的手势。

　　两人相视一笑，各自回屋。

　　陆星衍坐在书桌前，看着那张淡蓝色的纸。纸上有折痕，有沈清辞手指的触感（也许是心理作用），还有那句话和那个篮球涂鸦。

　　他把纸抚平，夹进数学笔记本的扉页。

　　然后打开竞赛班选拔的复习资料。选拔考试在明天下午放学后，内容是高中数学竞赛一试难度，选拔前五名进入校队预备队，再从中选两人参加市级集训。

　　陆星衍的目标很明确：进前二，获得市级培训资格。这是他规划中的一步——高二进省队，高三冲全国赛，如果可能，国际奥林匹克。

　　但今晚，这个目标里多了一个变量：沈清辞。

　　沈清辞也要参加选拔。而且从最近的数学课表现来看，他的竞赛潜力不低。那些巧妙的解题思路，那些跳跃性的直觉，正是竞赛需要的。

　　陆星衍翻开一道组合数学题，开始思考。

　　窗外，风铃轻轻响了一声。

　　像是祝福，又像是战鼓。

　　---

　　11月2日，周五，下午5点30分

　　阶梯教室里坐了四十多人，都是高一高二数学拔尖的学生。空气中有种紧绷的寂静，只有翻试卷的沙沙声和偶尔的咳嗽声。

　　陆星衍坐在第三排靠窗的位置。他提前十分钟到场，检查了文具：两支黑色中性笔，一支2B铅笔，圆规，直尺，量角器，橡皮。所有物品在桌面上排列整齐，与桌沿平行。

　　沈清辞在第五排中间，来得稍晚，匆匆忙忙的，运动挎包往地上一扔，掏出笔袋。他的笔袋是帆布材质，已经洗得发白，拉链坏了用别针别着。

　　监考老师发下试卷。六道大题，时间120分钟。陆星衍快速浏览：函数与方程、数列、不等式、平面几何、立体几何、组合数学。难度梯度明显，最后一题是标准的IMO风格。

　　他开始答题。

　　第一题是函数方程，要求找出所有f：R→R满足f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1。陆星衍的思路清晰：先令y=0得f(0)=1，再令y=1探索性质，最后猜测f(x)=x+1或f(x)=1，验证后排除一个。用时8分钟。

　　第二题数列，涉及特征根和数学归纳法。12分钟。

　　第三题不等式，需要用到柯西和均值的组合。陆星衍在草稿纸上推导了三分钟，找到一个巧妙的放缩。15分钟。

　　做到这里，他看了眼时间：过去35分钟，进度正常。

　　他用余光瞥了一眼沈清辞。沈清辞正埋头苦算，草稿纸已经写满半张，头发被他抓得乱糟糟的。但他的笔在动，速度不慢。

　　陆星衍收回视线，继续做题。

　　第四题平面几何，一道经典的圆幂定理和相似三角形综合题。陆星衍画了辅助线，标出角度，列出比例关系。但在证明某两个三角形相似时，他卡住了。

　　他尝试了三种不同的辅助线，都不够简洁。时间一分一秒过去，已经用了20分钟在这道题上。

　　冷静。他对自己说。重新审题。

　　就在这时，他听见身后传来轻微的“啊哈”一声——是沈清辞，声音很小，但陆星衍听出了其中的兴奋。沈清辞似乎找到了关键。

　　陆星衍深吸一口气，把原来的思路全部划掉。他看向图形，忽然意识到自己忽略了某个对称性。如果在另一边也做一条对称的辅助线……

　　思路通了。

　　8分钟后，他完成证明，答案简洁优美。

　　第五题立体几何，空间向量解法最直接。陆星衍建立坐标系，设点，列方程，解出二面角的正弦值。计算有些繁琐，但按部就班总能完成。

　　最后一题。组合数学：将1,2,…,n填入n×n的方格表，每行每列数字互不相同。定义“平衡度”为所有相邻（上下或左右）格子数字差的绝对值之和。求最小平衡度及取到最小值的一种填法。

　　陆星衍盯着题目，大脑飞速运转。这题需要构造和证明两个部分。构造不难想到——按某种规律排列可以最小化相邻差。但证明这个构造是最优的，需要用到排序不等式和双计数原理。

　　他开始写。构造部分用了5分钟，证明部分……他写了两页草稿，才理清思路。

　　时间还剩15分钟。

　　陆星衍开始誊写。笔尖在答题纸上快速移动，字迹工整，逻辑严密。写完最后一句话时，考试结束铃响了。

　　“停笔！”监考老师开始收卷。

　　陆星衍放下笔，活动了一下僵硬的指关节。他转头看向沈清辞——沈清辞刚好也抬头，两人目光相遇。沈清辞做了个“累死了”的口型，陆星衍微微点头。

　　试卷收走后，教室里响起一片哀嚎。

　　“最后一题是什么鬼！”

　　“我第五题都没做完……”

　　“谁做出第六题了？求思路！”

　　沈清辞走到陆星衍旁边，一屁股坐在空座位上：“怎么样？”

　　“正常发挥。”陆星衍说，“你呢？”

　　“还行吧，就是几何题卡了一会儿。”沈清辞抓了抓头发，“最后那道组合题，我用了个奇怪的构造，不知道对不对。”

　　“什么样的构造？”

　　“把数字按蛇形排列，像贪吃蛇那样。”沈清辞在草稿纸上画了个示意图，“这样相邻的数字差要么是1，要么是n，感觉能最小化。”

　　陆星衍看着那个蛇形图案，心里快速计算了一下。确实，这种排列的平衡度是(n-1)n，理论上可能是最小的。

　　“很聪明。”陆星衍说。

　　沈清辞笑了：“真的？我还怕思路太野了。”

　　“竞赛需要野思路。”一个声音从讲台方向传来。

　　两人抬头。数学竞赛教练周建国站在讲台边，正看着他们。周老师五十多岁，头发花白，戴一副老花镜，但眼神锐利如鹰。他是云城一中数学竞赛的金牌教练，带出过三个IMO金牌。

　　“陆星衍，沈清辞，”周老师说，“跟我来办公室。”

　　两人对视一眼，起身跟上。

　　办公室里堆满了书和试卷，空气中有淡淡的茶香和旧纸张的气味。周老师在自己的办公桌后坐下，从抽屉里拿出两份试卷——正是他们刚才考的。

　　“你们俩，”周老师把眼镜推到额头上，看着他们，“一个考了98，一个考了97。”

　　陆星衍的心脏跳快了一拍。沈清辞则睁大了眼睛。

　　“第三名82分。”周老师继续说，“断层领先。而且——”他抽出最后一道题的答题纸，“你们的解法，完全不一样。”

　　他把两张答题纸并排放在桌上。陆星衍的解法严谨，用了双计数和排序不等式，整整写了两页。沈清辞的解法只有半页：构造出蛇形排列，然后用一个巧妙的“翻转对称”论证了最优性。

　　“都对了。”周老师说，“陆星衍的解法标准，沈清辞的解法巧妙。你们互补。”

　　沈清辞松了口气，肩膀垮下来。陆星衍则盯着那两种解法，心里在比较优劣。

　　“校队预备队下周开始训练，每周二、四、六下午课后两小时。”周老师说，“你们俩都要参加。而且——”他顿了顿，“我要求你们组成学习小组，每周至少额外讨论三次。”

　　陆星衍的手指收紧了。

　　沈清辞倒是很爽快：“好啊！”

　　“不是‘好啊’这么简单。”周老师严肃地说，“我要你们真正合作。陆星衍，你要学沈清辞的跳跃性思维；沈清辞，你要学陆星衍的严谨性。竞赛不是单打独斗，到了省级、国家级，团队协作很重要。”

　　他拿出一份训练计划表：“第一次小组讨论定在下周一晚自习后。地点就在这间办公室。题目我会提前给你们。”

　　陆星衍接过计划表。上面已经列好了前四周的训练内容：第一周函数与方程，第二周数列与不等式，第三周几何，第四周组合数学。

　　“有问题吗？”周老师问。

　　“没有。”两人同时回答。

　　“那就这样。”周老师摆摆手，“回去吧。周末把第一次讨论的题目做了，周一带来。”

　　走出办公室时，天色已暗。走廊里空荡荡的，只有他们俩的脚步声。

　　“没想到真成了队友。”沈清辞说，声音在走廊里回响。

　　“是学习小组。”陆星衍纠正。

　　“差不多意思。”沈清辞笑了，“以后要经常见面了，陆老师。”

　　陆星衍没说话。他心里在计算：每周三次额外讨论，加上正常训练，每周他们会有至少九小时的单独相处时间。这比他计划的“正常交往模式”超出了300%。

　　“你好像不太高兴？”沈清辞侧头看他。

　　“没有。”陆星衍说，“只是在安排时间。”

　　“别安排得太满。”沈清辞拍拍他的肩，“总要留点时间打篮球吧？”

　　陆星衍的肩膀僵了一下。沈清辞的手很快移开，但那个触感还在。

　　“看情况。”陆星衍说。

　　他们走到楼梯口。沈清辞要去篮球馆加练，陆星衍直接回家。分开前，沈清辞忽然说：“对了，今晚11点，老地方。”

　　陆星衍点点头。

　　他看见沈清辞眼睛里的笑意，还有那句话里隐含的期待。

　　老地方。阳台。他们的秘密时间。

　　陆星衍转过身，走向校门。但脚步不自觉地轻快了一些。

　　---

　　11月5日，周一，晚8点30分

　　数学组办公室的灯亮着。

　　陆星衍提前十分钟到达。他把书包放在靠窗的椅子上，取出讨论资料：周老师给的六道函数方程题，他已经全部做完，每种解法都写了详细步骤，还标注了可能的变式和拓展。

　　沈清辞在8点31分冲进来，满头是汗。

　　“抱歉抱歉，训练拖堂了！”他把篮球靠在墙角，从挎包里掏出一叠皱巴巴的纸，“题目我做了，但……有些地方不太确定。”

　　“坐。”陆星衍说。

　　两人在办公桌两侧坐下。桌子很宽，上面堆着周老师的各种资料，中间清出一块空地。

　　“从第一题开始？”陆星衍问。

　　“好。”

　　第一题：求所有函数f：R→R，满足f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)。

　　陆星衍先开口：“我的思路是，先令y=0，得f(0)=2或f(0)=0。分情况讨论。”

　　他拿出自己的解答，字迹工整得像印刷体。第一步，第二步，第三步，逻辑链清晰完整。

　　沈清辞看着他，眉头慢慢皱起来。

　　“等一下。”沈清辞打断，“你为什么要分f(0)=2和f(0)=0两种情况？不能直接看出来吗？”

　　“需要严格证明。”陆星衍说，“这是函数方程的基本方法：先求特殊值，再推导一般形式。”

　　“但我觉得可以直接猜f(x)=2cos(ax)或者某种形式。”沈清辞在自己的草稿纸上画了个波形，“你看，这个方程很像和差化积公式，f可能和三角函数有关。”

　　“猜测需要验证。”陆星衍坚持，“而且要先确定定义域、连续性等条件。”

　　“可这是竞赛题，不用像写论文那么严谨吧？”沈清辞说，“只要找到解，验证满足就行。”

　　“但如果漏解呢？”陆星衍声音提高了一点，“竞赛评分按步骤给分，跳跃太多会扣分。”

　　“可时间有限啊！”沈清辞也提高了声音，“你那种写法，一道题要写二十分钟。六道题两小时根本做不完。”

　　两人瞪着对方。

　　空气凝固了几秒。

　　陆星衍先开口，声音冷了下来：“所以你的意思是，为了快，可以牺牲严谨？”

　　“我不是这个意思。”沈清辞抓了抓头发，“我是说，要有策略。有些步骤可以省略，有些直觉可以相信。”

　　“直觉不可靠。”陆星衍说。

　　“你的严谨也不总是高效。”沈清辞反驳。

　　两人都不说话了。办公室里只有时钟的滴答声。

　　陆星衍的手指捏紧了笔记本边缘，纸张发出轻微的“咔”声。他在生气，但他不知道自己在气什么——气沈清辞质疑他的方法？气那种随性的态度？还是气自己竟然无法反驳？

　　沈清辞也在生气。他抓起笔，在草稿纸上乱画，笔尖划破纸张。

　　“那我们看第二题。”陆星衍强行压下情绪，“求所有f：R→R，满足f(x?-y?)=f(x)f(y)。”

　　“这题我有个想法。”沈清辞说，“令y=0，得f(x?)=f(x)f(0)。所以f(0)=0或1。如果f(0)=0，那么f(x?)=0，所以f在非负实数上为零。再令x=y，得f(0)=[f(x)]?，所以f(x)=0对所有x成立。”

　　他说得很快，逻辑跳跃，但陆星衍跟上了。

　　“如果f(0)=1，那么f(x?)=f(x)。”沈清辞继续，“所以f在非负实数上是幂等函数。再令y=x，得f(0)=[f(x)]?，所以|f(x)|=1。结合f(x?)=f(x)，我猜f(x)=1或f(x)=(-1)^{[某种性质]}。”

　　陆星衍看着他。这个思路……其实很清晰，虽然省略了一些中间推导。

　　“你需要证明f(x)只能取±1，且f(x)=f(x?)意味着f在正实数上是常数。”陆星衍说，“还要讨论负实数的情况。”

　　“我知道。”沈清辞说，“但这些可以后面补。先抓住主干。”

　　“主干可能会漏掉分支。”陆星衍说，“比如，你怎么确定没有其他解？比如f(x)=0对所有x，这是你从f(0)=0推出的，但需要证明这个解也满足原方程。”

　　“它当然满足啊！”沈清辞有点急了，“代入检验不就行了？”

　　“但你需要证明它是唯一解。”陆星衍坚持，“可能还有其他解，比如分段函数，或者只在某些点有定义的特殊函数。”

　　“竞赛题不会出那么变态的解！”沈清辞拍了一下桌子，笔从桌上弹起来，飞向陆星衍。

　　陆星衍下意识地伸手，接住了笔。

　　动作很自然，像是排练过无数次。笔落在掌心，还有沈清辞手指的温度。

　　两人都愣住了。

　　陆星衍看着手里的笔，那是一支普通的蓝色中性笔，笔杆上有很多牙印——沈清辞思考时习惯咬笔。

　　沈清辞也看着那支笔，看着陆星衍接住它的手。那只手很稳，手指修长，指甲修剪得整整齐齐。

　　办公室的门突然被推开。

　　周老师站在门口，手里端着茶杯，眼镜滑到鼻尖上。他看着办公室里剑拔弩张的两个人，看着陆星衍手里还握着沈清辞的笔，看着桌上散乱的草稿纸。

　　“吵出结果了吗？”周老师问，声音平静。

　　陆星衍和沈清辞同时转头看他，都没说话。

　　周老师走进来，把茶杯放在桌上。他看了看陆星衍工整如印刷的解答，又看了看沈清辞涂鸦般的草稿纸。

　　“第一题，”周老师说，“陆星衍的解法标准，沈清辞的猜想正确但证明不完整。第二题，”他指着两人的草稿，“沈清辞抓住了关键特征，陆星衍补充了完整性。”

　　他抬起头，看着两个少年：“你们俩，指着自己认为正确的解法。”

　　陆星衍和沈清辞对视一眼，然后同时伸出手指。

　　陆星衍指向自己的解答。

　　沈清辞指向自己草稿纸上的核心思路。

　　周老师看了三秒，忽然笑了。

　　“两种都对。”他说，“更准确地说，两种都不完整，合起来才是完整的。”

　　他拉过一把椅子坐下：“竞赛数学，既需要沈清辞的直觉和跳跃，也需要陆星衍的严谨和系统。你们以为我在为难你们？不，我是在逼你们看到对方的优势。”

　　他拿起沈清辞的草稿纸：“清辞，你的思路很活，能看到问题的本质。但你的表达太乱，逻辑链有断层，这在竞赛里会吃亏。”他又拿起陆星衍的解答：“星衍，你的解答无可挑剔，但太按部就班，缺乏创造性。遇到新题型可能会卡住。”

　　办公室里安静下来。窗外的夜色浓重，办公室的灯光显得格外明亮。

　　“从今天起，”周老师说，“你们要学习对方的思维模式。陆星衍，我要你试着像沈清辞那样，先猜后证，大胆假设。沈清辞，我要你像陆星衍那样，把每一步都写清楚，逻辑闭环。”

　　他把题目推回两人面前：“现在，重新讨论。用陆星衍的严谨框架，装进沈清辞的直觉猜想。我要看到两种思维的融合。”

　　陆星衍和沈清辞看着对方。

　　沈清辞先开口，声音小了：“我刚才……态度不好。”

　　“我也是。”陆星衍说。

　　周老师站起身：“我出去抽根烟，半小时后回来。希望到时候能看到你们合作的成果。”

　　门关上了。

　　办公室里只剩下两人。时钟滴答，夜色渐深。

　　沈清辞先笑了，酒窝浮现：“我们这样，像不像两个吵架的小孩？”

　　“像。”陆星衍也放松下来，“但周老师说得对。我们的方法可以互补。”

　　他从沈清辞的草稿纸上找到了那个关键的猜想——f(x)可能和三角函数有关。然后用自己的严谨框架去推导：先证明f(0)=2，再推导出f(x)满足柯西方程，进而得出f(x)=2cos(ax)或类似形式。

　　沈清辞则看着陆星衍的完整推导，学习如何把跳跃的思路连成严密的逻辑链。

　　半小时后，周老师回来时，两人正在黑板上写东西。

　　陆星衍在左边写严谨推导，沈清辞在右边标注直觉跳跃点。两人不时交流，指着某一步说“这里可以简化”或“这里需要更多说明”。

　　周老师站在门口，看了很久。

　　然后他悄悄退出去，关上门，嘴角带着笑。

　　办公室里，陆星衍写完最后一步，放下粉笔。

　　“这样行吗？”他问沈清辞。

　　沈清辞看着黑板上完整的解答：既有严谨的框架，又有灵性的闪光点。就像一首双重奏，两个声部各自独立又和谐共鸣。

　　“很行。”沈清辞说，眼睛亮晶晶的。

　　陆星衍看着他的眼睛，看着那双眼睛里倒映出的黑板，倒映出的灯光，倒映出的……自己。

　　他忽然意识到，这是他们第一次真正意义上的合作。不是竞争，不是较劲，而是把两种不同的思维模式融合，创造出更好的东西。

　　就像两个音色不同的乐器，合奏出一首更丰富的乐曲。

　　“下周的题，”陆星衍说，“我们可以先各自思考，然后讨论。”

　　“好。”沈清辞点头，“我想到一个办法——你负责写标准解法，我负责想巧解，然后我们互相挑毛病，合成最终版。”

　　“可以。”陆星衍说，“但要有时间限制。比如每道题讨论不超过十五分钟。”

　　“行，陆老师。”沈清辞笑了，“都听你的。”

　　他们收拾东西准备离开。沈清辞背上挎包，抱起篮球。陆星衍仔细地整理好所有资料，按顺序放回书包。

　　走到门口时，沈清辞忽然说：“对了，今晚11点。”

　　“嗯。”

　　“我可能会晚几分钟。”沈清辞说，“要先把这些题消化一下。”

　　“我可以等你。”陆星衍说，然后意识到这句话可能太……主动，又补充道，“我也有题要再想想。”

　　沈清辞看着他，笑容在走廊昏暗的灯光下格外清晰。

　　“好。”他说，“那就老地方见。”

　　两人在楼梯口分开。陆星衍下楼，沈清辞上楼去拿忘在教室的水杯。

　　走出教学楼时，陆星衍回头看了一眼。

　　三楼的数学组办公室还亮着灯。窗玻璃上，隐约能看见黑板上他们刚刚写下的那些公式和图形。

　　两个不同的笔迹，交织在一起。

　　就像他们的思维，刚刚完成了第一次艰难的融合。

　　陆星衍转过身，走向校门。夜风吹过，带来深秋的凉意。但他心里是暖的，像是有什么东西被点燃了，小小的，但很亮。

　　他想，也许周老师是对的。

　　也许竞争之外，真的有合作这种可能。

　　也许两个完全不同的人，真的可以创造出比各自单独更好的东西。

　　也许那些深夜阳台的挥手，那些纸飞机的传递，那些激光笔和手电筒的信号，都是在为这一刻做准备——准备让他们学会，如何在保持自我的同时，容纳另一个完全不同的存在。

　　陆星衍坐上公交车。

　　他拿出手机，打开备忘录，写下一行字：

　　竞赛班第一天：冲突→理解→合作。变量沈清辞的思维模式(S)与我的思维模式(L)开始耦合。耦合过程有摩擦，但产出效率预期提升。

　　写完后，他看着这行字，想了想，又加了一句：

　　意外收获：接住飞出的笔时，发现对方手指温度比我高1-2摄氏度。原因待查。

　　他收起手机，看向窗外。

　　城市灯火流淌如河。公交车在夜色中平稳行驶，载着他驶向那个有风铃声的小区，驶向那个即将在深夜11点亮起灯的阳台。

　　驶向一段新的、比竞争更复杂、也比竞争更有趣的关系。

　　陆星衍闭上眼睛。

　　脑海中浮现出黑板上那些交织的公式，还有沈清辞说“都听你的”时，那个带着酒窝的笑容。

　　他想，也许今晚，他该在阳台上问沈清辞一个问题。

　　用纸飞机，或者手电筒，或者别的什么方式。

　　问：“我们能成为真正的队友吗？”

　　不是学习小组，不是竞争对手。

　　而是真正的、可以信赖的、彼此补足的队友。

　　公交车到站了。

　　陆星衍下车，走进星辰苑。

　　他抬头看向1702的阳台。灯还暗着，沈清辞还没回来。

　　但他知道，再过一会儿，那扇窗会亮起。

　　而他会在这里，等着。