《双星几何》鹤鹿鸣归山

2、第二章 无理数邻居

　　物理竞赛班的教室在实验楼顶层，朝北，九月下午的阳光斜射进来，在黑板左侧切出一块明晃晃的光斑。林见星提前八分钟到达，选了第三排正中的位置——视野与黑板的夹角最优，能清晰看到板书，又不会因仰头导致颈椎疲劳。

　　教室里陆续坐进来二十余人，都是通过选拔考试筛选出来的。林见星快速扫视一圈，大脑自动分类：六人戴眼镜（其中两人是高度近视），四人左利手，三人有咬笔习惯——典型的理科生群体特征分布。

　　沈望辰是踩着上课铃进来的。

　　他今天穿了件深蓝色T恤，肩上随意搭着校服外套，手里捏着一罐还没开封的汽水。他的目光在教室里转了一圈，落在林见星旁边的空位上。

　　“介意吗？”他已经拉开了椅子。

　　“随意。”林见星的回答简短，视线没离开摊开的竞赛习题集。

　　讲台上的老师姓周，五十岁上下，头发稀疏但眼神锐利。他没说开场白，直接转身在黑板上写下一道题：

　　“如图所示，三个质量均为m的小球，用长度均为L的轻杆连接，构成等边三角形。系统初始静止在光滑水平面上。在t=0时刻，对顶点A施加一水平冲量I。求：系统在任意时刻t的运动状态。”

　　教室里响起轻微的吸气声。典型的刚体力学与动量守恒综合题，但连接体的约束条件增加了维度。

　　林见星的手指在草稿纸上轻轻敲击。他的大脑已经开始构建模型：将系统质心运动与绕质心转动解耦。冲量I给予系统质心一个初始速度v_c=I/(3m)。同时，系统会绕质心旋转，角速度ω需要通过对冲量矩的积分……

　　“有人有思路吗？”周老师的声音打破沉默。

　　教室里一片寂静。林见星准备举手，但有人比他更快。

　　“老师，”沈望辰的声音从旁边传来，带着点漫不经心，“能不能用对称性偷个懒？”

　　周老师挑眉：“怎么偷？”

　　沈望辰站起来，没去黑板，只是用手指在空中比划：“三个球完全对称，所以冲量作用后，系统的运动可以分解为两部分：一是质心匀速直线运动，二是系统绕质心做匀速转动。关键是转动轴——”

　　他顿了顿，眼睛亮了：“不是绕质心在水平面内的任意轴，而是垂直于三角形平面的轴。因为冲量在平面内，所以角动量也必须在平面内，但转动轴垂直于平面……等等，让我想想。”

　　林见星盯着沈望辰的侧脸。他能看到对方瞳孔在轻微移动，那是视觉空间推理的迹象。沈望辰的思维路径和他完全不同——林见星是严格从牛顿第二定律和角动量定理出发，而沈望辰直接从对称性和守恒量切入。

　　“因为系统是等边三角形，”沈望辰继续说，语速加快，“所以转动惯量关于过质心且垂直于平面的轴是I=3m(L/√3)^2？不对，等等，每个球到转轴的距离应该是……”

　　“L/√3。”林见星下意识开口。

　　教室里所有人的目光瞬间聚焦到他身上。林见星感到耳根微热，但声音保持平稳：“等边三角形中心到顶点的距离是边长除以√3。这里边长是L。”

　　沈望辰转头看他，眼睛里的光更亮了：“对！所以转动惯量I_total=3m(L/√3)^2=mL^2。”

　　周老师脸上露出今天第一个笑容：“继续。”

　　“冲量I作用在A点，相对于质心的力臂是…L/√3？”沈望辰用询问的眼神看向林见星。

　　林见星点头：“质心到顶点的距离。”

　　“所以冲量矩是I(L/√3)。根据角动量定理，系统获得的初始角动量L_angular=I(L/√3)。角速度ω=L_angular/I_total=(I(L/√3))/(mL^2)=I/(√3mL)。”

　　沈望辰说完，长长呼了口气，像刚跑完一场短跑。他看向林见星：“质心速度是I/(3m)，对吧？”

　　“对。”林见星简短回应，但内心波澜起伏。沈望辰的解法完全跳过了建立微分方程的过程，直接用物理直观和守恒量得到答案。这种方法风险极高——如果对称性判断错误，整个推导会崩塌。但如果正确，效率是传统方法的数倍。

　　“很漂亮。”周老师鼓了鼓掌，“沈望辰同学用的是物理学家喜欢的思路：先看系统有什么对称性，有什么守恒量。林见星同学补充的关键几何参数也很准确。你们两个，”他的目光在两人之间移动，“一个擅长看到森林，一个擅长看清树木。”

　　这个比喻让林见星微微皱眉。他并不只想看清树木，他想要的是整片森林的精确地图。

　　沈望辰坐下时，汽水罐“啪”地一声打开，气泡涌出的声音在安静的教室里格外清晰。他喝了一大口，然后压低声音对林见星说：“刚才谢了。我差点在几何关系上卡壳。”

　　“你本可以自己推导。”林见星说，眼睛仍看着黑板。

　　“但那样就慢了。”沈望辰笑，“而且，合作解题的效率更高，不是吗？”

　　合作。林见星品味这个词。在他过去十五年的认知里，学术追求本质上是单兵作战。你可以讨论，可以请教，但最终解题的神经元放电必须发生在自己的大脑皮层里。

　　周老师已经开始讲解传统解法。林见星认真记笔记，字迹工整得像印刷体。他能感觉到旁边沈望辰也在写，但节奏完全不同——时而停顿思考，时而快速涂画，甚至有一次笔尖戳破了纸面。

　　下课铃响时，林见星的笔记已经整理了三种解法：牛顿定律法、拉格朗日方程法、还有沈望辰的对称性法。他在第三种解法旁画了个星号，写上批注：“高效，但依赖直觉，普适性待验证。”

　　“喂，”沈望辰凑过来看他的笔记，“你这笔记…是给出版社的样稿吗？”

　　林见星合上本子：“只是个人习惯。”

　　“厉害。”沈望辰站起身，把空汽水罐精准地投进教室后排的垃圾桶，“一起走？”

　　林见星本想拒绝，但看了眼手表——17:23，这个时间校车已经发车，公交要等12分钟。和沈望辰一起走似乎是最优解。

　　两人沉默地走出实验楼。傍晚的风吹散了白天的燥热，梧桐树叶开始泛黄。走到校门口时，沈望辰突然说：“你刚才在课上，其实已经完整解出来了，对吧？”

　　林见星脚步微顿：“何以见得？”

　　“你看黑板的眼神。”沈望辰模仿了一个聚焦微眯的表情，“那是已经得到答案的人，在验证过程的表情。我打篮球时见过类似的眼神——投手在球出手前就知道它会进。”

　　奇怪的类比。但意外的准确。

　　“我的确解出来了。”林见星承认，“用拉格朗日方程。”

　　“二阶微分方程那个？哇。”沈望辰吹了声口哨，“我试过学分析力学，但那些变分原理让我头疼。我更喜欢直接从牛顿定律出发。”

　　“牛顿定律在处理约束系统时很繁琐。”

　　“但直观啊。”沈望辰张开手比划，“力，加速度，动量——你能在脑子里‘看到’它们。那些广义坐标、拉格朗日量…太抽象了。”

　　林见星想反驳，但话到嘴边停住了。他意识到这是两种根本不同的思维模式：他自己倾向于抽象化和一般化，沈望辰则依赖几何直观和物理图像。没有优劣，只有不同。

　　他们走到公交站。68路公交车缓缓进站，车门打开时喷出一股热风。

　　车上人不多。林见星选了靠窗的单人座，沈望辰自然地坐在了他旁边的双人座外侧。车启动后，沈望辰从包里掏出耳机戴上，手指在腿上轻轻敲着节拍。

　　林见星看向窗外。城市的街景匀速后退，像一卷无限播放的胶片。他的大脑却在回放物理课上的那一幕：沈望辰站在教室里，用空中手势推导出答案的样子。那种解题的快乐几乎具象化，像一层光晕笼罩着他。

　　无理数。林见星突然想到这个词。像圆周率π，像自然常数e——无限不循环，无法用分数精确表示，永远带着一种不可预测的小数部分。沈望辰给他的感觉就是这样：无法用简单的“学霸”“竞争对手”来定义，总有一些无法归类的余数。

　　公交车报站：“翡翠花园到了，请后门下车。”

　　他们同时起身。下车，刷卡，走进小区大门。夕阳把两人的影子拉得很长，在铺着花岗岩的路面上交错。

　　8号楼的大堂冷气开得很足。林见星按下电梯按钮，沈望辰则对着光可鉴人的电梯门整理头发——其实根本没必要，他的头发本来就有种精心打理过的凌乱感。

　　电梯门打开。空无一人。

　　他们走进去。林见星按了12，沈望辰的手也伸向按钮板——然后停在了12这个数字上方。

　　空气凝固了大约两秒钟。

　　“你也住12楼？”沈望辰的声音里第一次出现了真实的惊讶。

　　“1201。”林见星说，盯着不断上升的楼层数字。

　　“我是1202。”沈望辰说，“我们不仅是邻居，还是对门邻居。”

　　电梯里安静下来，只有电机运转的轻微嗡鸣。林见星的大脑在飞速计算：一层两户，两户对门。假设他随机搬进这栋楼的某一户，与沈望辰成为对门的概率是……1/24（12层）×1/2（两户中特定一户）=1/48。加上他们是同校同年级的概率，加上他们都是竞赛班成员的概率。联合概率已经低到需要用科学计数法表示。

　　电梯“叮”一声到达12楼。门打开，狭长的走廊铺着深灰色地毯，吸走了所有脚步声。

　　1201在走廊左侧，1202在右侧。两扇门相距不到四米，门牌号对称得如同镜像。

　　林见星掏出钥匙。他听到身后沈望辰也在开门。钥匙转动的声音几乎同步。

　　“那么，”沈望辰在进门前一秒回过头，“明天见？”

　　“明天见。”林见星回答，推开了自家房门。

　　关门，反锁，放下书包。一系列动作完成后，林见星靠在门板上，长长地呼出一口气。

　　他的家整洁得像样板间：客厅灰白主色调，家具线条硬朗，所有物品各居其位。墙上没有装饰画，只有一副世界地图，图钉标记着父母出差的地点——此刻有三个图钉，分别在上海、广州和法兰克福。

　　手机震动。林见星划开屏幕，是母亲的消息：

　　“见星，妈妈临时要去香港开会，三天后回。爸爸在德国项目延期。给你转了生活费，记得按时吃饭。冰箱里有准备好的便当，加热吃。注意安全。”

　　标准流程。林见星回复：“收到。注意休息。”

　　他走到冰箱前，果然看到里面整齐码放着三份便当盒，标签上写着日期和加热时间。他拿出今天的那份，放进微波炉，设置3分30秒。

　　等待加热的间隙，他走到客厅落地窗前。窗外是城市夜景，万家灯火如星辰洒落。然后他的视线不由自主地移向右侧——1202的阳台。

　　两个阳台相距大约五米，中间是空荡荡的空气。1202的阳台和这里完全不同：挂着篮球衣，摆着几盆半死不活的绿植，角落还堆着一些看不清是什么的杂物。此刻阳台上空无一人，但灯亮着，透过玻璃门能看到室内暖黄色的光。

　　微波炉“叮”的一声。

　　林见星端出便当，在餐桌前坐下。一人食的餐桌显得过大，他通常只占用靠近厨房的一角。便当是标准的营养搭配：蛋白质、碳水、蔬菜比例4:3:3。他吃得很慢，每一口咀嚼20次——这是最利于消化的频率。

　　吃到一半时，对面阳台的门突然开了。

　　沈望辰走了出来，手里拿着一个平板电脑。他靠在栏杆上，手指在屏幕上快速滑动，眉头紧皱，嘴里还念念有词。然后他突然举起平板，对着天空——不，是对着楼宇间的狭窄夜空——拍了张照片。

　　林见星下意识地往阴影里挪了挪，确保自己不在对方视野中。

　　沈望辰拍完照，盯着屏幕看了会儿，然后做了个奇怪的动作：他举起左手，对着天空比划，像在测量角度。他的嘴唇在动，林见星隔着玻璃听不见声音，但能从口型猜出几个词：“方位角…高度角…”

　　他在观星？在城市光污染这么严重的地方？

　　沈望辰突然低下头，开始在平板上记录什么。他的表情专注得惊人，和白天那个随性的形象判若两人。灯光勾勒出他的侧脸线条，下颌线紧绷，睫毛在眼下投出细密的阴影。

　　林见星看了大约三分钟，直到沈望辰突然转头，视线直直地投向这边。

　　他立刻后退，离开了窗前区域。心跳有些快——不，是正常心率范围的偏高值，大约95次/分。他走到水槽前冲洗便当盒，水流声掩盖了其他声音。

　　手机又震动了。这次是学校竞赛班的群消息。他划开，看到周老师发了一份补充阅读材料。他下载，打开，发现是几篇关于刚体力学前沿应用的论文。

　　然后他看到了沈望辰在群里的发言：

　　“老师，第三篇论文的公式(7)，那个转动惯量张量的坐标变换，是不是印错了？我算出来的结果和文中差一个转置。”

　　林见星快速翻到论文第三页。公式(7)……他拿出草稿纸，开始验算。五分钟后，他得出结论：沈望辰是对的。论文确实有误。

　　他盯着手机屏幕。周老师还没回复，群里其他人也没说话。他手指在键盘上悬停了几秒，然后打字：

　　“验证无误。公式(7)右侧应添加转置符号T。”

　　发送。

　　几乎是立刻，沈望辰发来一个私聊窗口：

　　“你也发现了？我还以为我算错了三遍。”

　　林见星回复：“我只算了一遍。”

　　“……厉害。吃饭了吗？”

　　这个问题跳转得太快，林见星愣了一下：“吃了。”

　　“我还没。刚在阳台试图找北极星定位，结果发现城市里根本看不到。失败。”

　　所以刚才果然是在观星。林见星想了想，打字：“需要至少三等星以上亮度。城市夜空极限星等大约3等，北极星是2等，理论上可见，但需要避开直射光源。”

　　“你对这个也有研究？”

　　“只是基础知识。”

　　对话停顿了一会儿。林见星以为结束了，正准备关掉手机，新消息又来了：

　　“话说，你爸妈在家吗？我妈刚发消息说她和我爸都要加班到深夜，让我自己解决晚饭。”

　　林见星看着这行字，手指悬在屏幕上。某种奇妙的同步性正在发生：不仅是邻居、同班、竞争对手，现在连父母不在家的状态都同步了。

　　他最终打字：“我父母也出差了。”

　　“哇。所以今晚这层楼就我们俩？像不像恐怖片开头？”

　　“不像。恐怖片里的邻居通常不会一起讨论转动惯量张量。”

　　“哈哈！有道理。那我点外卖了，你要不要一起？满减凑单。”

　　林见星看向冰箱里剩下的两份便当。明天和后天的份。他应该拒绝，保持既定计划。

　　但他打字：“好。我要沙拉，不要酱汁。”

　　“收到。比萨可以吗？我找到一家买一送一。”

　　“可以。一半蔬菜，一半肉类。”

　　“讲究。30分钟后到。”

　　关掉手机，林见星走到客厅，重新看向对面阳台。沈望辰已经进去了，玻璃门关着，但暖黄色的光还亮着。

　　他走到书架前，抽出一本天文学基础教材，翻到星等和观测条件那章。书页上有他两年前做的笔记，字迹比现在稚嫩，但依然工整。

　　窗外，夜色完全降临。两扇相对的门后，两个少年各自占据一方空间，中间隔着一道走廊、两堵墙、和一系列低概率事件的叠加。

　　像两个无理数，林见星想，在数轴上无限接近，却永远不会完全重合。

　　但今晚，他们至少会分享同一张外卖订单。

　　微波炉的计时器显示00:00，像某种归零重启的暗示。林见星拿起手机，看到沈望辰发来的最新消息：

　　“外卖员说到了。猜拳决定谁下楼拿？三局两胜。”

　　他嘴角极轻微地扬了一下。

　　游戏开始了。