《关于我和数学的一点点》关我PP事

6、关于我和几何的一点点（上篇） “几何几何

　　“几何几何，三尖八角。”

　　“老师难教，学生难学。”

　　这是我当年初遇几何时，和蔼可亲的数学老师对我们说的。

　　几何，其意本“多少”。语出《诗经·小雅·巧言》： “为犹将多，尔居徒几何?”

　　别问我这句话什么意思，超纲了。古人有云： “术业有专攻。”

　　我又不是每样都会一点点的“叶问师傅”，更何况本人也不过七尺身躯顶一个脑袋， “几何”我都不大能说明白，更何况文言文。

　　回到“几何”上来。

　　“几何”，英文“Geometry”一词，是从希腊语演变而来的，其原意是“土地测量”。后被我国明朝的徐光启翻译成“几何学“。

　　至于为何“土地测量”能被翻译为“多少”，大抵是徐光启用翻译软件，把英文翻译成汉语再翻译回去，这样重复十几遍，二十遍的结果罢。

　　悟以往之不谏，知来者之可追。

　　翻译成什么样咱都得学，倒也不能说这个“几何”的翻译完全无用。

　　若是现在的“几何学”更名为“测地学”，将会产生多大的偏见。

　　倒是抛弃了原有的“土地测量”之意后，初学者初见“几何”一词，应该是不会产生一种“先入为主”的观念。

　　在如今的环境下，不但没有“先入为主”，反倒给原意为“多少”的“几何”，赋予了“形”的概念。

　　现在提起“几何”，大多数人的第一反应应该是空间或平面中的“形状”，而不是“多少”。

　　“几何”是研究“形”的科学。所谓的“形”，形象，形状，形态，形貌等等，这些词所代表的意境中，共同的部分，便是“形”。可意会，难以言传。

　　在一般情况下， “形”不过四种— “点”、“线”、“面”、“体”。

　　“点”，是零维的“形”。点作为“几何体”所存在的空间，显然是不合理的，因为没有比“点”维度更小的“形”。一个点已经是全部，那要如何包含其他的“形”？

　　“线”，是一维的“形”。“线”自然是可以作为“几何体”所存在的空间的。只是这样的空间，只有线，线段，和点的存在，难免有些单调。

　　“面”，是二维的“形”。当“面”作为“几何体”所存在的空间的时候。我们得到了一个老朋友—平面几何。

　　在平面上，我们可以随意的展示出任何， “点”、“线”以及面积有限的“平面”。

　　在这个平面几何中，可以绘制出“抛物线”，“双曲线”，“直线”等等。平面几何，作为最初接触到的几何学，便是由此展开。

　　在欧几里得的《几何原本》中所提出的，几何学五大公理。

　　1、任意一点到另外任意一点可以画直线。

　　2、一条有限线段可以继续延长。

　　3、以任意点为心及任意的距离可以画圆。

　　4、凡直角都彼此相等。

　　原句的第五条太过冗长，在此处换一个容易理解的说法。

　　5、给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。

　　在五大公理及其推论对“几何学”的构建下，先后出现了勾股定理，及其演化下的距离公式，最后出现了坐标，以及平面直角坐标系。

　　平面直角坐标系，这个将“形”和“数”相互转化的工具，做到了“数形结合”，开创了当代高中生最为头疼的“解析几何”。

　　回到对“点线面体”的介绍。

　　“体”，是三维的“形”。当“体”作为“几何体”所存在的空间的时候。我们得到了一个更头疼的老朋友—立体几何。

　　立体几何将平面的一切，拓展到了三维空间的程度。在三维空间中，我们可以肆无忌惮的用“点线面体”作为我们研究的“几何体”。同时也拓展出了三维的空间直角坐标系以及空间中的距离公式。

　　至此我们好像可以把我们生活之中的一切，都描绘进一个三维的“几何”中了。

　　但是人的好奇心和欲望是永无止境的。

　　像是贫困的人们渴望温饱，温饱的人们想要小康，小康的人们追求富裕，而富裕的人们又具有更高的精神追求……

　　探索也是永无止境的。

　　满足了三维空间中的“几何”，需要向更高的层次迈进。

　　如果我们在四维的空间中，点线面体，又会是什么样呢？

　　根据上面的推论，在零维至四维空间中，四维空间所独有的“形”，跟“点线面体”都不一样，我们暂且把这种四维的“形”称之为“伟”。

　　“伟”具有四个维度，就像是“体”具有三个维度、 “面”具有两个维度、 “线”具有一个维度，而“点”没有维度一样。

　　这样一来，四维的空间中，几何就是由“点线面体伟”共同组成。

　　我们不难看出，几维的空间中，对应维度的几何元素只能是有限的大小，而更小维度的几何元素却可以无限的放大。

　　例如三维空间中，二维的平面、曲面，可以无限制的大，以作为空间中的几何元素。同理，线也可以无限长。但是，体不能无限大。

　　在三维的空间中，研究的“面”和“线”都可以沿着自身的维度无限延伸。

　　但“体”不能无限延伸！

　　体的无限延伸会导致三维的空间被这个“体”充满，这样的研究对象是毫无意义的。

　　至于“点”，“点”是零维的，没有可延伸的维度，自然也就没有大小之分。

　　这样一来，四维空间中“点线面体”都可以无限延伸，但“伟”不能， “伟”只能以一定的大小存在，而不能无限延伸。

　　四维空间很难想象，我也想象不出来。但是依照这样的逻辑推论，多维的几何，应该也是沿这个规律下去。

　　很遗憾的是，我没有足够的学识和能力去验证这个想法。它只能作为一个才疏学浅的人对几何学的一点点幻想。

　　回到正题，上述的“几何学”的一切推论，均是建立在欧几里得《几何原本》所提出的五条公理基础之上的。

　　这样的“几何学”，被称为“欧式几何”。

　　生活中，在不讨论高维度的几何的情况下。我们运用欧几里得所提出的三维空间的“欧式几何”，已经能够解决99%的问题。

　　可这不是还有1%的问题没解决吗？