《高中数学讲义》秃头数学人

16、第十五，十六讲

　　第三章 高中数学课程内容的主要变化（上）
　　考点：1、知道高中数学课程有哪些新增的内容，对哪些内容作了新的处理。
　　2、能运用《普通高中数学课程标准（实验）》指导自己的数学教学实践。
　　考点聚焦：1、本章知识在历年考试中多以选择题和简答题的形式进行考查。
　　2、在历年考试中，高中数学课程中新增的内容是考查重点，考生在学习这部分知识的时候，要注意与具体的教学实践相结合，深入了解课程变化的原因和内涵。
　　第一节集合
　　第二节 函数
　　第三节 向量
　　第四节 统计与概率
　　第五节 算法
　　第六节 常用逻辑用语和微积分初步

　　集合
　　高中数学课程中新增加了一些内容。如算法、框图、推理与证明、统计案例以及选修3、4的大部分专题，对一些内容作了新的处理，例如集合、逻辑、函数、向量、立体几何、概率、导数等。本节介绍集合内容在高中数学课程中的主要变化。
　　一、高中数学课程中“集合”内容的定位
　　二、“集合”在中学作为语言来学
　　三、“集合”内容的教育价值
　　四、集合论
　　一、高中数学课程中“集合”内容的定位
　　在高中数学课程开始阶段，设置了“集合初步”的内容，介绍了一些规范的表述方式，如集合，子集合，补集，集合的并，集合的交，等等。
　　“集合初步”和“集合论初步”是不同的，“集合论”是一个重要的数学分支，它以“基数”和“序数”为基本研究对象，只有专门研究数学某些方向的人才需要学习“集合论”。“集合初步”只是提供一种表述数学的语言。
　　二、“集合”在中学作为语言来学
　　高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学习集合初步知识的目的主要在于能够使用集合这一最基本的语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力。数学中使用的语言有自然语言、图形语言、数表语言、符号语言等，集合就是一种特殊的符号语言。
　　三、“集合”内容的教育价值
　　1、培养运用数学语言学习数学、进行交流的能力
　　2、初步感受集合语言的价值
　　3、借助集合的学习，开始自主学习的体验
　　四、集合论
　　关于集合的理论叫做集合论，它在近代数学中是一个重要分支。
　　19世纪末20世纪初，德国数学家康托把人们直观的或思维中某些确定的、可以区分的对象汇合在一起，当做一个整体来看待，称之为集合，组成集合的那些对象称为这个集合的元素，并在此基础上创立了一门新的数学学科——集合论。
　　第二节 函数
　　一、高中数学课程中函数内容的变化
　　判断、确定一个函数和描述一个函数是不同的。在中学阶段，判断、确定一个函数主要不是依赖数学，而是依赖其它学科的知识和素养，以及日常生活的经验。
　　在中学阶段，描述函数有三种形式：图像法，列表法，解析式法。

　　二、函数是其他数学内容的载体
　　函数本身是重要的，即便如此，我们还应当关注在函数内容里蕴涵的其他重要内容，使函数学习发挥更大的效益。
　　在课程整体介绍中，我们已经明确了高中数学的六条主线，它们经常是共存于一个内容中。
　　三、函数内容进入中学是数学教育改革的一个里程碑
　　函数不仅在中学数学教育中占有重要的基础地位，而且在今后的数学学习中，它依然扮演着重要的角色。
　　特别指出，函数所反映的是对应与变化的思想，对于它的理解不是一蹴而就的。只要结合实际，结合后面数学知识的学习，不断地去思索，就会对“函数思想”的理解越来越深。
　　第三节 向量
　　向量之所以被引入中学，是因为向量在数学中占有重要的地位，在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
　　一、向量是刻画现实世界的重要数学模型
　　二、向量是集数、形于一身的数学概念
　　三、向量运算扩充了运算的对象和性质
　　四、向量是研究几何问题的基本工具
　　五、向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁
　　六、向量和物理有密切的联系

　　一、向量是刻画现实世界的重要数学模型
　　群、线性空间都是重要的数学模型，也是抽象代数、线性代数、泛函分析的重要研究对象。因此，向量为理解抽象代数、线性代数、泛函分析提供了基本的数学模型。
　　二、向量是集数、形于一身的数学概念
　　向量是近代数学中最重要、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。向量作为代数对象，可以像数一样进行运算；作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象。

　　三、向量运算扩充了运算的对象和性质
　　向量是代数的对象，它可以进行多种运算，如向量加、减、数乘和数量积等。
　　运算及其规律是代数学的基本研究对象。
　　与数的运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。

　　四、向量是研究几何问题的基本工具
　　向量是几何的对象，它可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面；也可用来讨论空间中点、线、面之间的位置关系：判断线线、线面、面面的平行与垂直关系；还可以表示空间中的曲线与曲面；并且可用来度量几何体中线与面的长度、角度，计算其面积、体积等。向量是研究几何问题的基本工具。
　　五、向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁
　　一方面，通过向量的运算可以解决几何中的问题。例如，两直线是否垂直的问题，就可以转化为两个向量的数量积是否为零的问题，这就实现了利用代数方法来解决几何问题的目的。
　　另一方面，对于代数问题，通过向量可以给予几何的解释。例如，两个向量的数量积为零，那么就说明这两个向量所表示的直线是相互垂直的，等等。
　　六、向量和物理有密切的联系
　　向量又是连接数学和物理的一个桥梁。物理学研究的基本量之一是矢量。物理学中的矢量既有大小和方向，又有作用点。
　　向量简单易懂。向量的概念有着清晰的物理背景，学生很容易懂。学习向量非常有助于培养学生的数学能力和应用数学解决实际问题的能力。

　　第三章 高中数学课程内容的主要变化（下）
　　第四节 统计与概率
　　一、高中数学课程中统计与概率内容的变化
　　高中数学课程对统计更加重视，为了突出学生对概率概念本质的理解，把计数安排在概率初步的后面。
　　但是，过去中学的概率课，把重点放在用排列组合计算古典概率上，而忽略了对概率本身的理解。在新课程标准中，更强调了对随机现象的认识。
　　二、统计
　　1、统计的价值及研究对象
　　2、形成运用数据进行推断的思考方式
　　3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识

　　1、统计的价值及研究对象
　　统计是一门关于用科学方法收集、整理、汇总、描述和分析数据资料，并在此基础上进行推断和决策的学科。统计学的应用非常广泛，凡是涉及数据分析的都可以成为统计学的研究领域。
　　面对一个实际问题，我们关心的是：
　　（1）如何抽取数据；
　　（2）如何从数据中提取信息；
　　（3）所得结论的可靠性如何。

　　2、形成运用数据进行推断的思考方式
　　统计所研究的问题一般具有不确定性。例如，应用统计方法由部分推断总体具有随机性。
　　在“统计”的学习中，学生将通过“随机抽样”，“样本估计总体”，“线性回归”等内容的学习，从统计的角度思考与数据信息有关的问题，体会统计思维与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，并意识到统计推断是有可能犯错误的。
　　3、形成对数据处理过程进行初步评价的意识
　　统计方法的作用，在于在数据所提供的信息的限度内，帮助人们作出尽可能正确的归纳。而从现实世界的角度看，作为推理方法，归纳高于演绎。
　　对相关的统计论断进行批判性思维是统计素养的一个重要组成部分，让学生认识到：统计思维不同于其他数学思维，统计调查是一个逐渐改进和完善的过程，是逐渐靠近真理的过程。在这个过程中，逐步培养学生对统计论断进行批判性思维的能力。
　　三、概率
　　1、高中数学概率部分的定位
　　2、同一个现实对象可以用不同的模型来描述
　　3、借助于几何概型来介绍随机模拟
　　4、概率教学要重视对概率思想的认识

　　1、高中数学概率部分的定位
　　对随机现象有一个较清楚的认识，成为每一个公民文化素质的基本要求，高中数学概率部分的定位就是使学生对随机现象的规律有个初步的认识。
　　1、随机现象是指在相同条件下，做重复试验出现的不确定现象。
　　2、频率和概率的关系。频率是随机的，概率是一个客观存在的常数。
　　3、概率反映的是“多次试验”中频率的稳定性。
　　4、出现频率偏离概率较大的情形是可能的，这是随机现象的特性。

　　2、同一个现实对象可以用不同的模型来描述
　　古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述。扔一个硬币，可以看成只有两种结果:“国徽面朝上”和“国徽面朝下”。每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型。
　　在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型。
　　3、借助于几何概型来介绍随机模拟
　　模拟是利用随机数再现随机现象的一种方法。
　　在高中新课程中，我们是借助于几何概型来介绍随机模拟的。几何概型讨论的是连续型随机变量中的均匀分布。由于历史上它的解最早是用几何方法来求的，因此，人们把它称为几何概型。

　　4、概率教学要重视对概率思想的认识
　　概率是研究随机现象的学科，学生学习过概率后，应该能对随机现象有一个较好的理解，能对自己日常生活中碰到的问题给出解释。
　　为了更好地理解随机现象、理解古典概率，具体教学时，不要把计数的方法作为重点，而要重视对概率思想的认识。
　　第五节 算法
　　算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算数学的重要基础。
　　为什么把算法加入数学课程？
　　一、时代的需要
　　二、与传统的内容有密切的联系
　　三、能引起学生的兴趣
　　四、对教师没有太大的难度
　　五、对未来的数学课程产生很大的影响

　　一、时代的需要
　　20世纪数学发生了很大的变化，这种变化有两个重要的标志，一个是数学的应用，另一个就是数学与计算机的同步发展。了解算法的基础知识和基本应用，对一个人的发展是非常重要的。
　　二、与传统的内容有密切的联系
　　算法并不是一个十分陌生的内容。虽然在传统的数学内容中没有出现过这个名词，但它的思想反复体现在传统的数学内容中，可以说渗透到了大部分内容之中。
　　三、能引起学生的兴趣
　　算法的特点是可以操作、可以检验，在条件允许的学校可以让学生在计算机上实现，这些都是受学生欢迎的，它们会使学生产生成就感。
　　四、对教师没有太大的难度
　　算法的内容对教师来说，难度不大，经过培训就能完全掌握。

　　五、对未来的数学课程产生很大的影响
　　算法进入高中是一件大事，会产生一系列的连锁反应：
　　1、大学课程设计中，会对算法的内容给予更多的关注。
　　2、“算法”的内容会以某种方式渗透到初中和小学，这一点是需要认真研究的课题。
　　3、“算法”的内容进入高中，给出一个明确的导向，数学教育将更加关注“通性通法”，强调基本技能，淡化技巧。
　　4、“算法”是培养逻辑推理能力的非常好的载体。
　　第六节 常用逻辑用语和微积分初步
　　一、常用逻辑用语
　　1、常用逻辑用语和简易逻辑存在定位上的区别
　　2、常用逻辑用语中课程的重点
　　3、全称量词和存在量词
　　4、常用逻辑用语课程中的注意事项

　　一、常用逻辑用语
　　1、常用逻辑用语和简易逻辑存在定位上的区别
　　在常用逻辑用语中，课程的目标是帮助学生正确使用常用逻辑用语，避免产生错误。
　　2、常用逻辑用语中课程的重点
　　在常用逻辑用语中，课程的重点放在理解充分条件、必要条件、充分必要条件在数学中的含义。

　　3、全称量词和存在量词
　　在常用逻辑用语中，课程要求学生通过数学实例介绍两种基本的逻辑用语——全称量词和存在量词，帮助学生在数学学习和日常生活中正确地使用这两种逻辑用语以及理解这两种量词的否定的含义。
　　4、常用逻辑用语课程中的注意事项
　　课程只要求学生能用逻辑联结词组成新的命题，不要求复合命题的分解。
　　二、微积分初步
　　1、微积分思想是非常重要的思想，它可以帮助我们了解函数的变化，刻画现实世界的规律，在日常生活中，微积分的基本知识已经成为人们认识某些事物的常识。
　　2、在数学上给出微积分的表述，对于理解这些实例和案例是必要的。
　　3、直接介绍微积分思想的难度不大，能为中学生所接受。
　　4、可以帮助学生了解导数和积分的丰富背景和应用，建立一些具体的、特殊的极限概念，初步形成对极限的感性认识，这些对于进一步学习微积分理论是有帮助的。
　　5、微积分的产生在人类文明史上有着重要的作用。