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9、第九章 ...

  •   快到天亮,终于在一串数字下看到《九章算术》的故事。
      这又有什么奥秘呢他接着往下看去——
      昔在庖犠氏始画八卦,以通神明之德,以类万物之情,作九九之数,以合六爻之变。暨于黄帝神而化之,引而伸之,于是建历纪,协律吕,用稽道原,然后两仪四象精微之气可得而效焉。记称隶首作数,其详未之闻也。按周公制礼而有九数,九数之流,则《九章》是矣。往者暴秦焚书,经术散坏。自时厥后,汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残,各称删补。故校其目则与古或异,而所论者多近语也。徽幼习 《九章》,长再详览。观陰陽之 割裂,总算术之根源,探赜之暇,遂悟其意。是以敢竭顽鲁,采其所见,为之作 注。事类相推,各有攸归,故枝条虽分而同本榦知,发其一端而已。又所析理以辞,解体用图,庶亦约而能周,通而不黩,览之者思过半矣。且算在六艺,古者以宾兴贤能,教习国子;虽曰九数,其能穷纤入微,探测无方;至于以法相传,亦犹规矩度量可得而共,非特难为也。当今好之者寡,故世虽多通才达学,而未必能综于此耳。《周官·大司徒》职,夏至日中立八尺之表。其景尺有五寸,谓之地中。说云,南戴日下万五千里。夫云尔者,以术推之。案:《九章》立四表望远及因木望山之术,皆端旁互见,无有超邈若斯之类。然则苍等为术犹未足以博尽群数也。徽寻九数有重差之名,原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝 深而兼知其远者必用重差、句股,则必以重差为率,故曰重差也。立两表于洛陽之城,令高八尺,南北各尽平地。同日度其正中之时。以景差为法,表高乘表间为实,实如法而一。所得加表高,即日去地也。以南表之景乘表间为实,实如法而一,即为从南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地为句、股,为之求弦,即日去人也。以径寸之筒南望日,日满筒空,则定筒之长短以为股率,以筒径为句率,日去人之数为大股,大股之句即日径也。虽夫圆穹之象犹曰可度,又况泰山之高与江海之广哉。徽以为今之史籍且略举天地之物,考论厥数,载之于志,以阐世术之美,辄造《重差》,并为注解,以究古人之意,缀于句股之下。度高者重表,测深者累矩,孤离者三望,离而又旁求者四望。触类而长之,则虽幽遐诡伏,靡所不入,博物君子,详而览焉。
      方田(以御田畴界域)今有田广十五步,从十六步。问为田几何?答曰:一亩。
      又有田广十二步,从十四步。问为田几何?答曰:一百六十八步。
      〔图:从十四,广十二。〕方田术曰:广从步数相乘得积步。
      〔此积谓田幂。凡广从相乘谓之幂。
      淳风等按:经云广从相乘得积步,注云广从相乘谓之幂。观斯注意,积幂义同。以理推之,固当不尔。何则?幂是方面单布之名,积乃众数聚居之称。循名责实,二者全殊。虽欲同之,窃恐不可。今以凡言幂者据广从之一方;其言积者举众步之都数。经云相乘得积步,即是都数之明文。注云谓之为幂,全乖积步之 本意。此注前云积为田幂,于理得通。复云谓之为幂,繁而不当。今者注释,存善去非,略为料简,遗诸后学。〕以亩法二百四十步除之,即亩数。百亩为一顷。
      〔淳风等按:此为篇端,故特举顷、亩二法。余术不复言者,从此可知。一 亩之田,广十五步,从而疏之,令为十五行,则每行广一步而从十六步。又横而截之,令为十六行,则每行广一步而从十五步。此即从疏横截之步,各自为方,凡有二百四十步。一亩之地,步数正同。以此言之,则广从相乘得积步,验矣。
      二百四十步者,亩法也;百亩者,顷法也。故以除之,即得。〕今有田广一里,从一里。问为田几何?答曰:三顷七十五亩。
      又有田广二里,从三里。问为田几何?答曰:二十二顷五十亩。
      里田术曰:广从里数相乘得积里。以三百七十五乘之,即亩数。
      〔按:此术广从里数相乘得积里。方里之中有三顷七十五亩,故以乘之,即得亩数也。〕今有十八分之十二,问约之得几何?答曰:三分之二。
      又有九十一分之四十九,问约之得几何?答曰:十三分之七。
      ○约分 〔按:约分者,物之数量,不可悉全,必以分言之;分之为数,繁则难用。
      设有四分之二者,繁而言之,亦可为八分之四;约而言之,则二分之一也,虽则 异辞,至于为数,亦同归尔。法实相推,动有参差,故为术者先治诸分。〕术曰:可半者半之;不可半者,副置分母、子之数,以少减多,更相减损,求其等也。以等数约之。
      〔等数约之,即除也。其所以相减者,皆等数之重叠,故以等数约之。〕今有三分之一,五分之二,问合之得几何?答曰:十五分之十一。
      又有三分之二,七分之四,九分之五,问合之得几何?答曰:得一、六十三分之五十。
      又有二分之一,三分之二,四分之三,五分之四,问合之得几何?答曰:得二、六十分之四十三。
      ○合分 〔淳风等按:合分知,数非一端,分无定准,诸分子杂互,群母参差。粗细既殊,理难从一,故齐其众分,同其群母,令可相并,故曰合分。〕术曰:母互乘子,并以为实。母相乘为法。
      〔母互乘子。约而言之者,其分粗;繁而言之者,其分细。虽则粗细有殊,然其实一也。众分错杂,非细不会。乘而散之,所以通之。通之则可并也。凡母互乘子谓之齐,群母相乘谓之同。同者,相与通同,共一母也;齐者,子与母齐,势不可失本数也。方以类聚,物以群分。数同类者无远;数异类者无近。远而通体知,虽异位而相从也;近而殊形知,虽同列而相违也。然则齐同之术要矣:错 综度数,动之斯谐,其犹佩觿解结,无往而不理焉。乘以散之,约以聚之,齐同以通之,此其算之纲纪乎?其一术者,可令母除为率,率乘子为齐。〕实如法而一。不满法者,以法命之。
      〔今欲求其实,故齐其子,又同其母,令如母而一。其余以等数约之,即得知,所谓同法为母,实余为子,皆从此例。〕其母同者,直相从之。
      今有九分之八,减其五分之一,问余几何?答曰:四十五分之三十一。
      又有四分之三,减其三分之一,问余几何?答曰:十二分之五。
      ○减分 〔淳风等按:诸分子、母数各不同,以少减多,欲知余几,减余为实,故曰减分。〕术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一。
      〔母互乘子知,以齐其子也。以少减多知,齐故可相减也。母相乘为法者,同其母也。母同子齐,故如母而一,即得。〕今有八分之五,二十五分之十六,问孰多?多几何?答曰:二十五分之十六多,多二百分之三。
      又有九分之八,七分之六,问孰多?多几何?答曰:九分之八多,多六十三分之二。
      又有二十一分之八,五十分之十七,问孰多?多几何?答曰:二十一分之八多,多一千五十分之四十三。
      ○课分 〔淳风等按:分各异名,理不齐一,较其相近之数,故曰课分也。〕术曰:母互乘子,以少减多,余为实。母相乘为法。实如法而一,即相多也。
      〔淳风等按:此术母互乘子,以少分减多分,与减分义同;惟相多之数,意与减分有异:减分知,求其余数有几;课分知,以其余数相多也。〕今有三分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减四分之三者二,三分之二者一,并,以益三分之一,而各平于十二分之七。
      又有二分之一,三分之二,四分之三。问减多益少,各几何而平?答曰:减三分之二者一,四分之三者四、并,以益二分之一,而各平于三十六分之二十三。
      ○平分 〔淳风等按:平分知,诸分参差,欲令齐等,减彼之多,增此之少,故曰平分也。〕术曰:母互乘子, 〔齐其子也。〕副并为平实。
      〔淳风等按:母互乘子,副并为平实知,定此平实主限,众子所当损益知,限为平。〕母相乘为法。
      〔母相乘为法知,亦齐其子,又同其母。〕以列数乘未并者各自为列实。亦以列数乘法。
      〔此当副置列数除平实,若然则重有分,故反以列数乘同齐。
      淳风等按:问云所平之分多少不定,或三或二,列位无常。平三知,置位三重;平二知,置位二重。凡此之例,一准平分不可豫定多少,故直云列数而已。〕以平实减列实,余,约之为所减。并所减以益于少。以法命平实,各得其平。
      今有七人,分八钱三分钱之一。问人得几何?答曰:人得一钱二十一分钱之 四。
      又有三人三分人之一,分六钱三分钱之一、四分钱之三。问人得几何?答曰:人得二钱八分钱之一。
      ○经分 〔淳风等按:经分者,自合分已下,皆与诸分相齐,此乃直求一人之分。以人数分所分,故曰经分也。〕术曰:以人数为法,钱数为实,实如法而一。有分者通之。
      〔母互乘子知,齐其子;母相乘者,同其母。以母通之者,分母乘全内子。
      乘,散全则为积分,积分则与子相通,故可令相从。凡数相与者谓之率。率知,自相与通。有分则可散,分重叠则约也;等除法实,相与率也。故散分者,必令两分母相乘法实也。〕重有分者同而通之。
      〔又以法分母乘实,实分母乘法。此谓法、实俱有分,故令分母各乘全分内子,又令分母互乘上下。〕今有田广七分步之四,从五分步之三,问为田几何?答曰:三十五分步之十 二。
      又有田广九分步之七,从十一分步之九,问为田几何?答曰:十一分步之七。
      又有田广五分步之四,从九分步之五,问为田几何?答曰:九分步之四。
      ○乘分 〔淳风等按:乘分者,分母相乘为法,子相乘为实,故曰乘分。〕术曰:母相乘为法,子相乘为实,实如法而一。
      〔凡实不满法者而有母、子之名。若有分,以乘其实而长之,则亦满法,乃为全耳。又以子有所乘,故母当报除。报除者,实如法而一也。今子相乘则母各当报除,因令分母相乘而连除也。此田有广从,难以广谕。设有问者曰:马二十 匹,直金十二斤。今卖马二十匹,三十五人分之,人得几何?答曰:三十五分斤之十二。其为之也,当如经分术,以十二斤金为实,三十五人为法。设更言马五 匹,直金三斤。今卖马四匹,七人分之,人得几何?答曰:人得三十五分斤之十 二。其为之也,当齐其金、人之数,皆合初问入于经分矣。然则分子相乘为实者,犹齐其金也;母相乘为法者,犹齐其人也。同其母为二十,马无事于同,但欲求齐而已。又,马五...........................................
      乘,非但若为圆径自乘者九方而已。然则十二而一,所得又非十二觚之幂也。若欲以为圆幂,失之于多矣。以六觚之周,十二而一可也。于徽新术,直令圆周自乘,又以二十五乘之,三百一十四而一,得圆幂。其率:二十五者,周幂也;三百一十四者,周自乘之幂也。置周数六尺二寸八分,令自乘,得幂三十九万四千三百八十四分。又置圆幂三万一千四百分。皆以一千二百五十六约之,得此率。
      淳风等按:方面自乘即得其积。圆周求其幂,假率乃通。但此术所求用三、 一为率。圆田正法,半周及半径以相乘。今乃用全周自乘,故须以十二为母。何者?据全周而求半周,则须以二为法。就全周而求半径,复假六以除之。是二、 六相乘,除周自乘之数。依密率,以七乘之,八十八而一。〕今有宛田,下周三十步,径十六步。问为田几何?答曰:一百二十步。
      又有宛田,下周九十九步,径五十一步。问为田几何?答曰:五亩六十二步四分步之一。
      术曰:以径乘周,四而一。
      〔此术不验,故推方锥以见其形。假令方锥下方六尺,高四尺。四尺为股,下方之半三尺为句。正面邪为弦,弦五尺也。令句弦相乘,四因之,得六十尺,即方锥四面见者之幂。若令其中容圆锥,圆锥见幂与方锥见幂,其率犹方幂之与圆幂也。按:方锥下六尺,则方周二十四尺。以五尺乘而半之,则亦锥之见幂。
      故求圆锥之数,折径以乘下周之半,即圆锥之幂也。今宛田上径圆穹,而与圆锥同术,则幂失之于少矣。然其术难用,故略举大较,施之大广田也。求圆锥之幂,犹求圆田之幂也。今用两全相乘,故以四为法,除之,亦如圆田矣。开立圆术说圆方诸率甚备,可以验此。〕今有弧田,弦二十步,矢十五步。问为田几何?答曰:一亩九十七步半。
      又有弧田,弦七十八步二分步之一,矢十三步九分步之七。问为田几何?答 曰:二亩一百五十五步八十一分步之五十六。
      术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一。
      〔方中之圆,圆里十二觚之幂,合外方之幂四分之三也。中方合外方之半,则朱青合外方四分之一也。弧田,半圆之幂也。故依半圆之体而为之术。以弦乘矢而半之,则为黄幂,矢自乘而半之,则为二青幂。青、黄相连为弧体,弧体法当应规。今觚面不至外畔,失之于少矣。圆田旧术以周三径一为率,俱得十二觚之幂,亦失之于少也,与此相似。指验半圆之幂耳。若不满半圆者,益复疏阔。
      宜句股锯圆材之术,以弧弦为锯道长,以矢为锯深,而求其径。既知圆径,则弧可割分也。割之者,半弧田之弦以为股,其矢为句,为之求弦,即小弧之弦也。
      以半小弧之弦为句,半圆径为弦,为之求股。以减半径,其余即小弦之矢也。割之又割,使至极细。但举弦、矢相乘之数,则必近密率矣。然于算数差繁,必欲有所寻究也。若但度田,取其大数,旧术为约耳。〕今有环田,中周九十二步,外周一百二十二步,径五步。
      〔此欲令与周三径一之率相应,故言径五步也。据中、外周,以徽术言之,当径四步一百五十七分步之一百二十二也。
      淳风等按:依密率,合径四步二十二分步之十七。〕问为田几何?答曰:二亩五十五步。
      〔于徽术,当为田二亩三十一步一百五十七分步之二十三。
      淳风等按:依密率,为田二亩三十步二十二分步之十五。〕术曰:并中、外周而半之,以径乘之,为积步。
      〔此田截而中之周则为长。并而半之知,亦以盈补虚也。此可令中、外周各自为圆田,以中圆减外圆,余则环实也。〕又有环田,中周六十二步四分步之三,外周一百一十三步二分步之一,径十 二步三分步之二。
      〔此田环而不通匝,故径十二步三分步之二。若据上周求径者,此径失之于多,过周三径一之率,盖为疏矣。于徽术,当径八步六百二十八分步之五十一。
      淳风等按:依周三径一考之,合径八步二十四分步之一十一。依密率,合径八步一百七十六分步之一十三。〕问为田几何?答曰:四亩一百五十六步四分步之一。
      〔于徽术,当为田二亩二百三十二步五千二十四分步之七百八十七也。依周三径一,为田三亩二十五步六十四分步之二十五。
      淳风等按:密率,为田二亩二百三十一步一千四百八分步之七百一十七也。〕术曰:置中、外周步数,分母子各居其下。母互乘子,通全步内分子。以中周减外周,余半之,以益中周。径亦通分内子,以乘周为实。分母相乘为法。除之为积步。余,积步之分。以亩法除之,即亩数也。
      〔按:此术,并中、外周步数于上,分母子于下,母互乘子者,为中外周俱有余分,故以互乘齐其子,母相乘同其母。子齐母同,故通全步,内分子。半之 知,以盈补虚,得中平之周。周则为从,径则为广,故广从相乘而得其积。既合分母,还须分母出之。故令周、径分母相乘而连除之,即得积步。不尽,以等数除之而命分。以亩法除积步,得亩数也。〕

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