《温缅因的碎碎念》成海扶川

4、极限、变化与稳定在时空中重叠时 极限、变化

　　极限、变化与稳定在时空中重叠时

　　写在前面：非常非常非常非常喜欢数学，特别是代数。
　　一位牛津数学系的女生也曾经讲过，数学可以让她更加冷静地思考，在我而言也是。在很烦的时候，似乎就只有数学能够让我动笔下去，毕竟有写文章或者其他事情的灵感与欲望很容易但是需要去找一个口，但是数学就不一样，数学的话这一题你会就写，不会就尝试，一直尝试到会为止，如果实在连做题目的灵感都没有的话，就可以去参照其他的解题过程之类的，渐渐地在这个干事情的过程中，人的思绪就清楚了，很多情绪垃圾都被“要解下去”的思想给抹杀了。
　　也就是一些学的还很浅的见解吧，但是兴趣还是不会磨灭的，毕竟，能够坚持很多年的事情确实不多。
　　这篇心得是很久以前写的，拿出来晾凉，防止长毛。
　　一辈子都不会忘记写后面一堆线性与图像的时候的酣畅淋漓的感觉的。
　　简单地记录一下吧。
　　在这个场合把这篇文章发出来似乎是和总基调没什么大关系，但我觉得关系还是挺大的。因为这种对于数学或者说逻辑链的钟情，我在对待人与人之间的感情、在阅读倾向与写作倾向等方面，都会有智性的偏好，严重的趋向，不可逆的选择。对于很会思考的人，总归是会有一个“哇”的反应，是羡慕或者是仰望或者是投合。
　　我一向反对偏见，但无奈的是，对于偏见的偏见本身就非常偏激，甚至于可以说是一种傲慢。客观地去审视，是一种很严格的要求，我觉得也很难得（刚刚想打的是难达到但是电脑系统给我选了难得这个词似乎是更加适合的好久没有用过这个词汇了）。所以，我只能尽己所能地去判别我是否持有偏见与倾向，但是没有办法很具体地对自己的行为作出指导与匡正。我改正我自己，本身就是很有哲理的词汇了。
　　在还很小的时候对于任何学科都是差不多的感情，后来越来越深入，一些学科的方向也在渐渐地挖掘我内心的敏感点。代数大概是我的一个敏感点。有的答案随着时间在不断变化，有的猜想在看似很正确之后的很多年才被发现一个可气的漏洞，很早以前就存在下来的一系列符号与代码来源于哪里，为什么就是这样的顺序与法则，原来的显而易见渐渐变成了奇奇怪怪的疑惑，纠缠于脑中，逻辑的圈套圈套，以为推断了这么久能有个答案结果到头来是A=A，这个时候，但凡剪个洞，勒着的绳索就又变成了一根可以用来绑东西的绳子。这样的过程是用迷人形容太轻浮，用魅力而言太过沉重，值得用什么词想不太清楚。
　　讲真，数学作为学科而言毕竟是被拉上了关于实际利益的筹码，喜欢起来似乎是沉重的，但作为一件事情而言还不错。

　　（下方可终于是正文啦。）

　　“有谁不曾被y=e^x惊艳过？就像是浴火重生的凤凰般，它从自身的导数中一飞冲天。”费朗索瓦勒列奥内如是说。
　　数学是一门折射出世界内部逻辑及其变化规律的学问。数学家与很多其他热爱数学的人更习惯于将数学的概念界定为这种——更能够昭示出数学的本质的那一种。数学与日常生活相依相生，蕴含着深刻的逻辑美，不应该被简单地渲染成一门艰涩的科学。

　　不同于平常教科书的内容排版，《普林斯顿微积分读本》以微积分的产生与发展为贯穿全书的一条线，一切定理与应用都像是水到渠成的结果，更加聚焦于数学知识的来源，而不是课堂所强调的简单习得。函数及其几何意义是本书的第一章，开门见山地阐明了函数存在的意义——作为一个对象转化为另一个对象的规则归纳映射关系。在此基础上，三角函数、幂指对函数等“应运而生”，通过对其灵活的取用可以适应不同问题的需求。这一部分是对函数定义，而本书接下来的对函数的性质分析，即连续性与可导可微性等，为判断微分积分进行限度框定了范围。班纳博士在这一部分尤其注意函数在图像与生活上的具现，我也非常鲜明地感受到数学的映射美学：比如说连续，在图像上表现为不间断的线，如果去掉坐标轴，那这条线就是美术上的线描的一部分；而反过来，如果给一条随意划出的线旁画上一个坐标轴，那这条线就一定可以用一个函数进行表达，甚至可以推测到它的两端会怎样延展。如果运用导数的概念，那么线条的陡缓起伏程度都可量化为斜率，切线、割线、法线等图像工具的运用，会让这一普通的线条不再局限于原先的地点，而是有了无限延展性。从这个角度出发，用这种观念思考，学习数学时，我逐渐从课堂的倾听者转变成参与者，进而进化为主动寻求数学方法来进行我的对于数字的探寻的学者。基于一个达成研究的目的，去习得要达成这个目标所需要的知识与方法，或者是相应的替换与转化，这是班纳博士重要的治学理念。

　　同时，极限与最优化和线性化也是本书的重点章节，用线条来进行辅助理解，就是在推测这个线条的发展走向。但还是在无穷极限的维度上探究的，虽然可以预测它怎样发展，但是它最终达到的样子是永远无法全部同时看见的，变化与稳定在这个合理化地重叠，并且成为了一门客观的学问来让人们学习它的奥妙，当微积分成为一门学科的时候，它就开始走一条路，一条让更多人领略这种变化与稳定的统一的道路——函数中蕴存着深刻的无止境的向上的美与活力。从精确度上来看，微分与积分不能做到100%，但是无限趋近之后所得出的结果，基本可以满足需求，同时让人保持一份不够精确的警惕。就像我的一位老师在讲等价无穷小时提到过，客观上等价不等于主观上可以使用，一种灵活又严谨的态度对于数学学习是至关重要的。判断方法的适用性比方法本身更加重要，而这个判断的过程，就是尝试与检查。本书中，班纳博士时常在一大段看似有逻辑的推理之后突然指出这种方法的错误。这样的情形很多，表象上看很难以捉摸，让人对于数学方法的精确或模糊更加捉摸不透，由表及里进行思考之后，又会发现这些特殊情况有一定的共性，比如说精确级数不匹配。在不断的尝试中，“失败”的次数会变多，但是思维会越来越全面，解决问题的勇气也会越来越足。

　　一直以来，我都在思考着一个问题，数学到底是一门自然学科还是人文学科。我觉得数学是兼而有之。一方面，它能够科学真实地反映自然界的一些规律与更迭，比如说细胞分裂的指数变化规律性，同时通过数学这一工具也可以推断自然界的生命活动的趋势，两者的检索关系是显而易见的；而另一方面，数学概念是由人来提出的，其内部的规律定理都由人类来发现与定义，人类生存发展的质量直接影响数学的发展，某种意义上来说，数学发展史，是人类的发现探索历程。自从完整的数字系统产生伊始，无数数学定理在似乎和普通人相隔很远的地方永恒存在着，在时间的长河里等待着谁的无意或有意间发现后重见天日，就像是河中露出水面的石头一样的存在，踩着这些石头可以走到河流更加深远之处。从这个层面上来说，探索是一种唤醒，学习就是由暗到明的过程。

　　一言以蔽，在阅读了《普林斯顿微积分读本》之后，我对于数学有了更多非功利性的体会。当极限、变化与稳定在时空中重叠时，我希望我可以看见变化中的不变，发现那些恒定的道理所不能兼容的例外，我希望，我也可以做一束光，照亮某一处存在多年的客观事实，并且让它为世界所用，让后人可以看得更远更明晰，让世界更加完整地观照自身。