《关于我和数学的一点点》关我PP事

8、关于我和几何的一点点（下篇）

　　上一章，插了一个话题，讨论了一下不关于数学的事。现在，我们回到这个该死的数学上来。

　　上上章，我们讨论了“高维几何”，我所阐述的东西，也只是我仅凭自己一点点的知识，做出的猜测。

　　三体中说， “弱小和无知不是生存的障碍，傲慢才是。”

　　任何有关于数学的理论知识，都应该加以严密的逻辑推导和证明，而不是将一部分看似科学，但极为主观的猜测奉为圭臬。

　　正是无数科学家的努力，现代学科才能形成现在庞大而又严密、科学的理论体系。

　　但是正因如此，严密的逻辑是冰冷的，毫无人情味的。像一位高冷的美女，吸引人靠近，又将人拒之门外。

　　而能打开这扇门的钥匙，自然是与冰冷的逻辑所背道而驰的“想象力”和“好奇心”。

　　我不是学富五车的学者，只能算是“一瓶不满半瓶晃”的愚人。

　　我的知识贮备甚少，做不到在严谨科学的基础上给大家带来诙谐幽默的讲解。只能讲讲自己在学习中的理解，不是很“科学”的“科学”。

　　子曰： “学而不思则罔，思而不学则殆。”

　　只学习而不思考，就会感到迷惑。只思考而不学习，就会“走火入魔”。

　　我之所言，其“严谨程度”远不及课本的丝毫；课本之所言，其“易理解程度”却远不及我半分。

　　可以认为，这本书并不是要讨论什么直接的数学知识点。直接的数学知识点，老师，同学自会有人为你“传道授业”，而这里，大抵是负责“解惑”罢。

　　正如上面所说，叩开“科学”冰冷之大门的钥匙，是“好奇心”和“想象力”。

　　“想象力比知识更重要。知识是有限的，想象力则环绕着整个世界。”

　　这可不是我说的，这是爱因斯坦在1929年的采访中说的。

　　死板严密的逻辑，书本上的条条框框。不知是教科书和资料编者的懒惰，或是如今应试教育的风气所致。

　　提到数学、物理公式时，第一时间大家的反应都是， “背”、“记”、“代”、“套”，仿佛这样就将这个公式牢牢的掌握在了手中。

　　而事后大家的叹息也大多是，怎么记混了、记错了、记不住、没写过，公式就像是一串冰冷的“函数”（见二三四章所讲）。摆在答题卡上，然后给个输入，给个输出，这样机械式的操作。

　　要是几个世纪以前的“公式发现者”看到，得被气得半死。

　　每个公式定理的背后，都有它自己的故事。牛顿的苹果，法拉第的电线，这些都是大家耳熟能详的东西，确是没有太多的人往深处去感受一下。

　　我们做不到像曾经的大佬们一样，去猜想，去证明，去推论，去漂亮的倒挂金勾。

　　我们可以做到，发挥一点点想象力，发挥一点点好奇心，去了解一下，他们曾经怎么做的，跟着前人的思路去推导一下，想象一下这里，或是哪里，是什么样的，是为什么。如果说，逻辑和证明是科学的基石，那么想象力和好奇心，就是科学不断发展的源泉。

　　“问渠那得清如许，为有源头活水来。”

　　嘿嘿，本来这章可以到此结束。

　　可是标题是关于几何的一点点，这前面确是跟几何一点边也不搭。

　　总之，前面就强调一点，写这个是为了让大家对数学的理解更深入一些，稍微发挥一下想象和好奇。至于严谨和逻辑，本书只能最大程度的发挥我自己的所知，就当是我“一瓶不满半瓶晃荡”的卖弄罢。

　　回到关于几何的大讨论上来。

　　上上章末尾提到，还有1%的问题没有办法用“欧式几何”解决。

　　例如，光在经过太阳周围会发生偏转，广义相对论的时空不均匀性，这些都没有办法用“欧式几何”来解释。

　　其实对于这些东西我也只知道个名词，略微可能了解一点点，大多认知仅停留在百度百科的前几行。

　　关于这几个“欧式几何”所不能解决的问题，我们自然由“非欧几何”来解决。

　　好家伙，这名字，这除了“欧式几何”，那不是“欧式几何”的几何那肯定都可以叫“非欧几何了”。

　　既然如此剩下的1%的问题，那肯定能由“非欧几何”解决啊。都属于几何学问题，欧式方法不行那不是欧式的方法就行了嘛。

　　呃呃呃，话虽如此……不过确实，话糙理不糙。搞“非欧”这种文字游戏，那还讨论个PP。

　　不过这也不影响接下来引入的“非欧几何”的概念，敲黑板！

　　“非欧几何”一般是指“罗巴切夫斯基几何”和“黎曼几何”。

　　罗什么什么几何，又叫“双曲几何”。

　　黎曼几何，又叫“椭圆几何”。

　　这样叫就好听多了。

　　这个几何总的来说非常抽象，我们先降维到一维层次的几何吧。

　　上上章说过，一维的几何， “几何空间”是条线，而其中“几何元素”，也就是“形状”，是点和长度有限的线段。

　　此时的一维空间，用坐标表示的话，两个点之间的距离，也就是这两个点的坐标相减。一维的坐标只有一个分量嘛。

　　这个时候我们来假设，如果这个一维的几何空间弯曲了，在二维的角度上看，它变成了一条弯曲的曲线，比如抛物线双曲线这类的。

　　此时，这个抛物线上的两个点的距离，是这两个点在平面上看到的距离吗？还是他们之间所夹抛物线的长度呢？

　　这个问题，我也不知道。不过可以肯定的是， “距离”这一概念，在弯曲过的空间中，并不适用了。

　　推广延伸到一个平面上的两个点，他们的坐标，此时可以用x，y两个分量来表示，点在二维空间，也就是平面上的位置可以用两个分量来表示。同理两个点的距离也可以根据坐标分量，用“勾股定理”来确定。

　　如果此时这个平面发生了弯曲，比如变成了一个，球面。就像是展开的世界地图，变成了地球仪。

　　在平面的世界地图中，相交于南北极的纬线，跟“平行”二字，没有半毛钱关系。可是在地球仪的球面上，不同的纬线可以算是有交点的平行线。

　　在非欧几何中，这样被弯曲成球面的平面，算是非欧的平面，被弯曲成圆的纬线，算是非欧的直线。

　　非欧几何中，平行线之间不一定没有交点，而三角形的内角和也不一定等于180度。仿佛一切都乱了套。

　　事实上，我们的宇宙，宇宙的三维空间，正是“非欧空间”。就像是上帝开了一个大大的玩笑。噢，该死，唯物主义者怎么能信上帝呢。

　　回到上面所说的，平面被弯曲成了球面，这个弯曲的程度，我们有一个词，叫做曲率。

　　在平面几何中，曲率表示一条线的弯曲程度，而曲率的表示方法正是用一段微小圆弧去逼近这条曲线上的某段微小的曲线段。

　　用于逼近的这段圆弧，称为“曲率圆”，“曲率圆”的半径称为“曲率半径”，而“曲率”就是“曲率半径”的倒数。

　　这么想，这个破圆越大，说明这个曲线弯曲程度越小，要是曲率圆像地球一样大，那么人眼所能看到的范围，都可以看成是直线。

　　相反，曲率圆要是太小，那么这个曲线在这个曲率圆处的弯曲都快变成折断了。毕竟弯曲处相拟合的圆实在太小了。

　　我们同样可以把曲率扩展到二维空间的弯曲，三维空间的弯曲，虽然这几乎没有办法想象。

　　正是由于曲率，这种表示弯曲程度的量存在，才有了“双曲几何”和“椭圆几何”之分。这两种几何，也不过是曲率的正负情况之分。

　　当代的非欧几何，也就是空间曲率不等于零的几何。

　　空间曲率等于零，也就是没有弯曲，标标准准的直线，平面，空间。这些自然是属于“欧式几何”。

　　我们到宇宙，正是非欧几何下的曲率不均匀的空间。

　　在具有质量的物体周围，空间会发生一定程度的扭曲，曲率也会随之改变。此时的空间正是一个弯曲后的“非欧空间”。

　　比如太阳周围，由于太阳的大质量的存在，导致周围的空间存在一定程度的扭曲。

　　光沿直线传播，简洁优雅，丝毫不会有人怀疑，可是当光经过太阳周围时，路线发生了弯曲。

　　排除光会转弯的可能，都认为这是空间弯曲的结果。弯曲后的空间中，最短的距离就不是表面上看起来的“直线”。而看似弯曲过的光线，走的才是“弯曲空间”中的“直线”。

　　就像是地球表面的“弯曲”航道，展开在世界地图上并不是最短的两点之间的直线，而回归到地球仪这个“球面几何”上，这个看似不短的“弯曲”航道，毫无疑问是地球表面两点间最短的航道。

　　如果在地球上取两点之间线段最短，航道得钻破地壳。莫不是飞机也要学遁地。

　　关于几何的内容，算是讨论完了。这些东西算是一点点科普，也算是一点点理解。还是上面的问题，科学不缺乏严谨，而缺乏天马行空。太多的人被条条框框所束缚，失去了想象力和好奇心。

　　“提出一个问题往往比解决一个问题还要重要。因为解决一个问题往往只是用到数学或实验上的一个技巧，而提出新的问题却需要有创造性的想象力，这标志着科学的真正进步。”

　　—Albert Einstein（阿尔伯特·爱因斯坦）