《和数学有关的只言片语》cohomology

2、重读小学数学 数数 参考人教版

　　声明1：本章里，当我们用汉字写数时，我们指的是这个数本身；当我们用阿拉伯数字时，我们指的是一个符号。例如“一百二十三”表示的是这个抽象意义上的数，“123”表示的是代表数字“一百二十三”的这个符号。该声明仅本章有效。

　　声明2：我对数学史没有过多的了解，所以我所说的事情并没有参考真实历史的发展顺序，很多时候我说古人或者原始人如何如何，只是为了方便理解某些数学发展的必要性。当然，表明了时间人名地名的故事一般来说是真的^^

　　哈哈哈，对很多学生来说，这可能是最轻松的一节数学课啦！尽管我们在这节课里才会学习数数（从一到十），但我不相信有哪位小朋友真的是从这节课才开始学习从一数到十的。

　　不过，数数也并不是这么简单的。现在让我们忘掉学过的所有知识，假如，我是说假如，你是一个没有学过阿拉伯数字的原始人，你该如何向伙伴吹嘘你们部落最近抓到了几只兔子呢？

　　方案一:笨蛋，当然是用手指比划了，几个手指就代表几只兔子！

　　这是个再正常不过的想法，我们的祖先当然不费吹灰之力就想到了。不过，这里就产生了一个问题，我们一个手只有五根手指（六根手指的孩子是幸运的，他们能数更多的兔子^^），如何用有限的手指表示出更多数？嗯。。。这也不是不能解决，挥动两次手就代表两个五，多挥几次就可以啦！这是个好主意，而且类似于演唱会里的打call，应该很能活跃气氛，不太好的地方就是两人有可能对到底挥了几次手发生争执，而且还得有一定的心算能力（十一个“加五”对我们的祖先来说可能需要很长的思考时间）。

　　（PS:说起演唱会，我突然想起几年前和女朋友去演唱会（好像是那一年中国好声音学员的演出），这是我第一次经历这种大场面。人很多，歌手唱得挺好，我听着也很激动。突然，我觉得我应该把这种激动表现出来，我得让大家知道我的音乐造诣和对歌手的肯定。脑中掠过电视里歌迷在演唱会声嘶力竭呐喊的画面，我决定就是现在了，内心的狂热不必再压抑了！只见我伸出双手卖力鼓掌，大喝一声：“好————”。我女朋友转头看我，愣住了；我转头看她，想想刚才我做的事情，也愣住了；周围的人看向我们，好吧，他们没愣住，发出刺耳的嘲笑声。。。事后我反思，没有人规定演唱会不能喊好，但就是觉得哪里不对劲。）

　　方案二：当然，也可以用树枝划杠，一个杠代表一只兔子。

　　好主意！嗯。。。至少和用手指相比，这绝对能轻松表示出更多的数字，而且某种意义上我们把数字记录了下来，对于像朋友吹牛到底打了几只兔子绝对是够用了。

　　现在，不妨我们忘记兔子。我们的新目标是：

　　假定由于某些原因我们需要表示一个大一点的数字，我们要把这个数字写下来。

　　那么我们立刻就能看出方案二的不足。因为很可能十分钟以后家里就不够我们划杠的了，得去院子里（希望我们的祖先有院子）。而且，这对于容易眼花的人来说非常不友好，我是绝对不愿意去数斑马有几条黑纹的。

　　方案三：其实，我们可以改进划杠计数法（好正经的名字，其实是我胡诌的），就是发明一些符号，不同的符号对应着不同的数，某种意义上，只要我们有足够多的符号，我们就能表示出所有的数字，而且只用一个符号就行，非常节省空间。

　　这是一个更好的主意！不如这就去设计属于自己的独特符号，要设计得酷炫点，快点去，我等你！

　　。。。不知你设计到了第几个，特别是当我们表达比较小的数时，这方法简直太方便了，但是我没坚持到一百。实际上，对于想认真设计符号的人来说，我们是无法给出令人满意的答案的，因为辨识度高，书写轻松，便于记忆，“大量”这几个要求是不兼容的【思考：你能说出哪些不兼容吗】。可所有的语言不都是这样的吗，中文有大量的汉字，英文有大量的单词，这些我们不是已经做到了吗？我不是在否定自然语言，而是我认为自然语言和数字（或者说数学语言）还是有些不同的：首先，我们没有必要花这么长的时间就为了学习怎么表示一千个数字；其次，语境和字的构成（中文的偏旁部首，英文的词根）可以帮助我们记忆，这些对数字来讲意义不大；最后，我们对自然语言的理解并不需要“非常准确”或者说自然语言有很大的解释空间，但是把“一千零一”理解成“一千零二”有可能造成很坏的后果。

　　方案四：不如这样，我们只设计0-9十个符号代表“零”到“九”十个数字，然后用符号A，B，C，D对应“十”“百”“千”“万”，如此一来“九万三千四百二十七”就可以表示为(9D 3C 4B 2A 7)。如果你能想到这点的话，那么恭喜你，你已经发明了一种非常实用的计数方法了！这种计数方法对时间和空间的要求都很低，而且对于日常生活来说记住“一”到“九”“十”“百”“千”“万”“十万”“百万”“千万”“亿”几个符号就绝对够用了（富翁想想家产时可能要多记几个符号。。。有钱人的生活真是痛苦啊）。唯一的代价就是需要一点简单的算术，至少你要知道“七百五十”等于七个“一百”加上五个“十”，与我们的收获比，这点代价是可以忽略不计的。

　　似乎我们可以在这里结束了，这个方法真的已经足够完善了，该出去找兔子了，毕竟肚子还饿着呢。我想这应该是大多人的选择，非常明智，事实上我们日常生活中就是这么做的，我们平常所用的方法（“十”“百”“千”“万”“亿”）就是上述方法的一个变种【思考：为什么十百千相差十倍，到了万和亿就相差一万倍了呢】。不如我们在回头看看之前发现的方法，它有什么缺点吗？如果你仔细想一下（或者你碰巧是世界首富）应该还是可以意识到，假如你真的要表示一个天文数字，那么我们还是要记下很多符号的，无穷无尽的数字意味着无穷无尽的符号，这似乎有点不完美，因为我们无法写出一本无尽的数字词典。这又应该如何解决呢？

　　只有在这时，我们才能发现人类竟是如此的智慧。我不打算再写下更多关于这方面的废话，因为我相信读者你肯定知道我们在小学一年级学习的“现代”计数方法。不过，现在的你能否思考一下，我们在一年级学习的计数方法和方案四比，即93426和(9D 3C 4B 2A 7)相比，有哪些不同，优点又是什么？我小时候看书时最害怕让我思考，但我希望经过上述铺垫，这里的思考不会吓走很多人^^

　　（个人看法，我发现在方案四里我们所做的更像是一种进阶版的“土堆”加法，我们把一堆一堆的土加起来，大堆和小堆对应着不同的数，其中涉及的乘法（比如有五个表示“百”的堆）在某种意义上是可以忽略的。但是我们在小学里学会的计数方法却始终有着乘法的影子，我们要用100表示“十乘以十”用“1000”表示“十乘以十乘以十”，我们用这种方法来遍历出不同大小的土堆。）

　　现在，不如重新看一下之前的几种方案（尤其是相对完善的方案四的小学学习的计数方法），是否可以发现什么突兀的东西？有的，就是我们不停的在用数字“十”，我们的方案四里不同符号代表的数字依次相差十倍，小学数学里学到的计数法我们也总是用“十乘以十乘以十”，为什么要用十而不是其他的数字？在数学上讲，十和其他整数并没有任何区别，如果方案四中我们把“倍数十”替换成“倍数二”，那么我们的计数法也是成立的。

　　例如用“0”“1”“A”“B”“C”“D”表示“零”“一”“二”“二乘以二，即四”“二乘以二乘以二，即八”“二乘以二乘以二乘以二，即十六”，那么“十九”就可以表示为（1D， 0B， 0C， 1D， 1）。如果我们继续仿照小学计数法来改进“倍数二”下的方案四，我们可以用10011来表示十九。

　　历史上很多古文明都使用过二进制，我没有研究过原因，不过我猜想在古人看来也许二进制才是最简单的进制（一进制是没有意义的，而二是除了一最小的正整数）。而华夏民族似乎对二进制情有独钟，五经之中的易经六十四卦就是用二进制表示的，易经在我国历史上产生了深远的影响，很多朴素的哲学思想源自于此。不仅如此，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）发明计算机就是基于二进制可以用电气元件实现的这个特性（这块还是以后再讲吧，有点偏题了）。

　　如果你翻开历史书，还能看到很多其他奇怪的进制。例如：或许是由于月球一年绕地球公转十二圈，因此就产生了十二个月份，有些文明觉得十二是个比较特殊的数字就采用了十二进制；我国古代曾经使用过十六进制（这一点在可以从成语“半斤八两”中得到体现，对古人来说半斤真的就是八两）；好像玛雅文明使用的则是二十进制。不论何种选择，古人应该是选取了对他们来说最有意义的数字来当作进制的。至于十进制是怎样在这场激烈角逐中胜出的，有很多种说法，读者可以上网搜索也可尝试给出自己的观点。

　　对于之前没接触过其他进制又有兴趣多做一些思考的人来说，可以尝试下面几个小练习。

　　1.你能把你的幸运数字写成二进制的形式吗？

　　2.找一个二进制十进制转换网站，尝试几个比较大的数字，数一数同样的一个数字用十进制要几位，用二进制要几位，用前边的数除以后边的数，大概在多少？

　　为什么要用几千字来说一个幼儿园的孩子都可能会的事情？

　　进制这种思想并不是简单的，是需要对已有的数学规律经过总结归纳与创新才能发明出来的。我们之所以觉得数数简单，不过是因为家长们或许已经用几个月的时间来慢慢教会孩子数数。我认为刚开始上学的儿童所理解的数数只是我们的方案四，也就是说他们记住了“个”“十”“百”，这样的东西，然后把怎样用这些东西组合出数强行记了下来，而未必能理解为什么我们能用有限的0-9来表示出无穷多的数。一个理解“进制”的人不应当听到“二进制”而感到害怕与困惑，因为十进制和二进制在理论上是同一种东西，只会用十进制的人实际上还是在用心中的手指数数，或许他们算得很快，但这并不代表他们理解在小学数学里我们到底是怎样数数的。

　　上段话并不是为了表达很多人笨得不懂什么是数数，而是说我们应当对生活多一份思考，很多我们认为非常基本的事物实际上也隐藏着一些并不平凡的奥秘。好的数学有可能很难，但并不是只有难的数学才是好数学，追求难并不是目的，追求有用的数学工具才是目的。历史上数学的发展，几乎都是是源自数学家对一些他们认为最基本（基本不代表简单）的问题的思考。

　　放松时间：有兴趣的读者可以搜索“古代数字”相关的图片，能看到很多有意思的东西。