9、解方程 ...
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说干就干！程真天和张译文拿出了不知道多少年以前祖先留下的“纸”和被自己的祖先们称为“钢笔”的两件东西。
既然要向外撤离，首先就得计算木星和土星间的引力场会不会扯碎地球的大气层……
设木星的质量为M木，土星的质量为M土，地球的质量为m地球，地球的大气层质量为M大气，地球的半径为r。地木两星间的距离为大S，地土两星间的距离为小s。
根据万有引力定律——F=（G×M×m）/r^2，地球和木星、土星之间的安全距离是可以计算的。
向万有引力定律中代入上述数据可得：
F木星对大气=（G×M木×M大气）/S^2
F土星对大气=（G×M土×M大气）/s^2
同时，计算得出地球地核对大气的引力为：
F地球对大气=（G×m地球×M大气）/（r+大气层厚度）^2
要想让大气层不被木星和土星撕碎，就必须要让地球对自己大气层的引力大于木星、土星对地球的大气层的引力，所以经过推导，可得出以下两式：
（G×m地球×M大气）/（r+大气层厚度）^2-（G×M木×M大气）/S^2＞0
（G×m地球×M大气）/（r+大气层厚度）^2-（G×M土×M大气）/s^2＞0
将两个不等式左边都通分后得到：
G×m地球×M大气×S^2-G×M木×M大气×（r+大气层厚度）^2/（r+大气层厚度）^2×S^2＞0
G×m地球×M大气×s^2-G×M土×M大气×（r+大气层厚度）^2/（r+大气层厚度）^2×s^2＞0
因为：
（r+大气层厚度）^2×S^2＞0，且（r+大气层厚度）^2×s^2＞0
不等式两边可以同时乘以（r+大气层厚度）^2×S^2和（r+大气层厚度）^2×s^2。除去分母后，再提取公因式，最后化简可得：
G×M大气×【m地球×S^2-M木×（r+大气层厚度）^2】＞0
G×M大气×【m地球×s^2-M土×（r+大气层厚度）^2】＞0
已知：
M木≈318×m地球，M土≈95×m地球
将上述已知条件再代入上式可消元得：
G×M大气×m地球×【S^2-318×（r+大气层厚度）^2】＞0
G×M大气×m地球×【s^2-95×（r+大气层厚度）^2】＞0
因为已知：
G=6.67259×10^-11 N×m^2/kg^2，M大气≈5.5×10^18 kg，m地球≈5.965×10^24 kg
所以：
G×M大气×m地球≈2.189109964×10^33 N×m^2
再次带入原式，即得：
2.189109964×10^33 N×m^2×【S^2-318×（r+大气层厚度）^2】＞0
2.189109964×10^33 N×m^2×【s^2-95×（r+大气层厚度）^2】＞0
不等式两边继续同时除以常数部分，可得：
S^2-318×（r+大气层厚度）^2＞0
s^2-95×（r+大气层厚度）^2＞0
接下来移项：
S^2＞318×（r+大气层厚度）^2
s^2＞95×（r+大气层厚度）^2
因为S＞0，s＞0，r+大气层厚度＞0，所以可对上面的不等式两边同时开方，即可得到：
S＞√318×（r+大气层厚度）
s＞√95×（r+大气层厚度）
“额……现在我们怎么算？√318和√95这两个根式我们都不知道精确值诶！”张译文说道，语气中夹杂着一丝无奈。
“向上取整吧！”程真天说道。“17＜√318＜18，我们就按18计算；9＜√95＜10，我们就得按10算，距离算的宽松一点应该问题不大，但是如果我们算小了就可能会出危险！”
于是：
S＞18×（r+大气层厚度）
s＞10×（r+大气层厚度）
已知：
r≈6371km，大气层厚度≈3000km
直接代入数据即可求得：
S＞168678km
s＞93710km
“也就是说，木星对地球的流体洛希极限范围大约是17万千米；土星对地球的流体洛希极限范围大概是10万千米！”程真天平静的说道。“只要地球到木星的距离大于17万千米，到土星的距离大于10万千米，我们的大气就不会被扯碎或者抽走！”
“这个距离不是很大嘛！我们在地球上是安全的……好好好！要真是这样就太好了！”张译文很高兴的说道。
“诶对了程真天！既然我们必须离开太阳系，那么我们地球的运行速度要达到多少啊？”张译文想到了新的问题。
“您想想看，第三宇宙速度是16.7km/s，航天器达到了这个速度就能够挣脱太阳引力的束缚，飞离太阳系。但这还要加上地球公转给航天器的初速度”程真天说道。
“嗯是的！”张译文肯定道。“16.7km/s再加上地球绕太阳工转的轨道速度29.8km/s……所以要使地球能够逃离太阳的引力场，我们的速度最低也要达到46.5km/s左右！这个速度不小了！怎么能够人工给地球提速这么多呢？”
“用核能发动机聚变释放的能量来给整个地球加速肯定是杯水车薪，那只能起到一个改变地球运动方向的作用……”
程真天还没有说完，张译文就开口了：“你先等一下。程真天，你是不是想说我们应该利用大天体的引力弹弓效应来给地球加速啊？”
“完全正确！我就是这样想的！而且我们现在不能只是简单的加速一次，应该先在木星的作用下第一次加速，同时调转公转方向，朝土星直线飞过去，紧接着利用土星进行第二次加速，然后又转向，再朝木星飞回来，最后用木星进行第三次加速！如果速度还没到达预期水平，我们还可以再多往返几次直到速度够了为止……”
“哇！这个构想多么棒啊！你是怎么想到的？”张译文激动地呼喊道。
“还得验算一下能不能成功……再继续来吧，我们接着计算吧台长！第一次加速估计难以实现，我只是想用木星给地球转个方向，要加速估计不现实……那就先计算土星的引力弹弓效应。”程真天说道。
“好的好的开始吧！”张译文也重新拿起了笔。
设土星的质量为大M，土星的初速度为V土，土星的末速度为V*土。然后地球的质量为小m，地球的初速度为V地，地球的末速度为V*地。此外，由于地球的运行速度与土星相反，并且动量是矢量。所以在计算时需要用（-V地）表示地球的初速度。
根据动量守恒定律可列出下式：
M×V土+m×（-V地）=M×V*土+m×V*地
记为（1）式。
将（1）式移项，得到：
M×V土- M×V*土= m×V*地- m×（-V地）
继续提取公因式，就有：
M×（V土-V*土）= m×【V*地-（-V地）】
记为（3）式。
接下来，又根据动能守恒定律列出下式：
M/2×V土^2+m/2×（-V地）^2= M/2×V*土^2+m/2×V*地^2
记为（2）式。
将（2）式进行移项，可得：
M/2×V土^2-M/2×V*土^2= m/2×V*地^2-m/2×（-V地）^2
再提取公因式，随后得到：
M/2×（V土^2-V*土^2）= m/2×【V*地^2-（-V地）^2】
去分母即得：
M×（V土^2-V*土^2）= m×【V*地^2-（-V地）^2】
根据平方差公式，对提取公因式后的等式进行因式分解，即可化为：
M×（V土+V*土）×（V土-V*土）= m×【V*地+（-V地）】×【V*地-（-V地）】
记为（4）式。
用（4）式除以（3）式即得：
V*土=V*地-V地-V土
得到了V*土的表达式，直接带入回（3）式，可知：
M×（V土-V*地+V地+V土）= m×【V*地-（-V地）】
将上式再直接打开括号即变为：
2M×V土-M×V*地+M×V地= m×V*地+m×V地
移项后，可得：
（M+m）×V*地=2M×V土+（M-m）×V地
所以：
V*地=【2M×V土+（M-m）×V地】/M+m
则：
V*地-V地=（2M×V土-2m×V地）/M+m
在理想状态下，M远远大于m，就可再次化简得到：
V*地-V地≈2V土
但M≈95m，还不能算得上是远远大于，于是将M=95m继续往原式代入即得：
V*地-V地=（190m×V土-2m×V地）/96m
直接用等式右侧分子除以分母化简得：
V*地-V地=1.97916V土-0.02083V地
已知：V土≈10.1km/s，V地≈29.8km/s将数据带入后计算，得到：
V*地-V地=19.368782km/s
这也就是说，利用土星做引力弹弓，最大能给地球提速约19km/s！
“休息一下吧台长！”程真天疲惫的说道。“算得好累的感觉……”
“我同意！真的是，好复杂啊！”张译文也累极了……
一个二次方程组，一次平方差公式的使用，把这两位天文台的学者给累坏了……想当初，19个银河年以前，这可是一个学过因式分解的8年级学生都能轻松搞定的运算呀……
果然，人脑子不用是会生锈的啊！
作者有话说
第9章 解方程
