1、第 1 章 ...
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由任意一点到任意一点可作有且仅有一条直线。
一条有限直线可以继续延长。
以任意点为心及任意的距离可以画圆。
凡直角都相等。
同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
欧几里得的五条公设一直以来被当做公理传授给学生们。公理，是不需要证明的，所有的人都默认公理所说是正确无疑的。许多年来一直如此，有谁会去怀疑呢？且不论质疑权威的困难，更何况这些与现实生活多么契合。难道有谁见过不一样的直角吗，有谁见过平行的直线相交吗？如果有人这么说，多半会被认为是疯子吧。
他是这样被教导的，也是这么想的，可是他却一直被心底深处翻搅着的一个念头困扰着：“如果……”。他曾经向他的父亲，一位在镇上颇有些名望的数学教师提起过这个念头，他的父亲断然回答：不要在这种无聊的想法上浪费时间。
他似乎听从了他父亲的话，再也没有向任何人提起过这个念头。他也一如他父亲所期望的继承了他的衣钵，成为了一名数学教师。或许这就是美满的人生吧，安定而受人尊敬的职业，同时还是自己衷心喜爱的。他传授学生知识一如许多年前他的老师传授给他的那样，一遍遍的叙述着那亘古不变的欧几里得五大公设，告诉学生们：“这是公理。”
但是只有他自己知道，每当夜深人静，独自一人坐在稿纸前着迷的在数学的迷宫里旋转时，那个已被深埋于心底的“如果……”总会一次次的冒上来蛊惑着他，诱惑着他一点点的走进那神秘而未知的领域。
他也曾尝试着，小心的用游移不确定的语气提起第五公设，诱导着他的学生像当年的他一样想到那个“如果……”。他想，只要有一个学生也这么想，那么他当年的念头就并非全然荒谬，那么……会怎么样，他也不知道，只是隐秘的期望着。
然而终究是没有，十几岁的男孩子正是活泼好动的年纪，又有几个真正愿意沉浸在复杂而令人眼花缭乱的几何课本中呢？他们愿意听他讲课就不错了，不能指望更多。
可这到底是不能阻止那个念头对他的引诱，终于有一天晚上，那个在他心底沉积了许久的念头破土而出。他兴奋地在稿纸上写下“如果欧几里得第五公设不成立”，顿了顿笔，却是坚定地一步步走向那未知的领域。
他在灯下辛苦的写了好几天，从迷惑到兴奋，从兴奋到激动。是的，在他鼓起勇气写下那条前提之下，他竟然一点点的建立起了一个完整自洽的逻辑体系。尽管有些推导出的结论看起来极其荒谬，比如三角形的内角和大于180度，过一点可以有无数条平行线。可是在新的逻辑体系下，每一条都可以被严谨的证明。他开始不敢相信，可反复的检查几遍之后，他确信一个新的几何体系在他手里诞生了，他打开了那片未知之地的大门。
他无比激动的给他的父亲写信：“我从乌有之中创造了整个世界。”可是父亲的回信一如多年前那样断然：这是不可能。孩子，你一定是错了，停止在这个没有意义的问题上浪费你的精力吧。
他有些失望，却没有沮丧。他想到了那位当时最著名的数学家，把自己的结果寄了过去。他相信一这位数学家的眼光和声望，他一定会认同这惊人的发现，并让这个崭新的领域得到世人和同行的关注。
他满怀希望等待着，终于等到了大数学家的回信。信里用一种客气而疏离的语气对他的工作和努力表示赞赏，“但是，我想告诉您，我曾经也做过这方面的研究并且有一些进展，就像您现在来信所说的那样，甚至可能研究的更多。可无论如何，这些看似惊世骇俗的东西都是没有意义的，这只不过是闲暇时的一种数学游戏而已，您能指望大家接受这些玩意吗，即便您发表了也不会得到任何重视，这只是一种游戏，仅此而已。所以放弃研究这些吧，还有许多有意思的问题值得您花费时间去思索，这是忠告。您忠实的XX。”
数学家在新的末尾不失亲切的表示他是一个有前途的人，可是这不能抵消他巨大的失落。他有些不甘心，他无法相信一个完全完美自洽的理论怎么可能毫无意义，只是一个游戏呢？尽管理论所得到的结果没有人见过，可那真的就是完全的荒谬吗？他继续向大数学家写信阐述他的想法，最后只换来大数学家不耐烦的回信：“我再一次诚恳的告诫您停止这种无意义的行为，这是浪费时间。我不会推荐您的理论也不会允许这样荒谬的结果发表的。”再之后，所有的去信犹如石沉大海。
后来呢？后来时间就如指缝间的水匆匆流过，他继续安静的做着镇上的数学老师。他的父亲退休之后希望能整理自己的手稿出版，这个繁杂的工作有一部分落到了他的身上。在许多个夜晚，对着跳动的烛光整理他父亲的手稿之时，他总忍不住会看看书桌那一叠已然蒙灰的手稿，那个从一个微不足道的“如果……”出发，那个曾让他激动不已的乌有中生出的世界。在最后一天整理完父亲的手稿之后，终于没有忍住，把自己的这一叠手稿也加了进去。
凭着父亲的些许名望和财富，手稿很顺利的出版了，他的那部分手稿也作为附录放在了书的最后。他像是完成了一件大事般感到一种隐约的喜悦。可是他父亲的名望在那些耀眼的数学家名字里依旧渺小，即便有一些学者出于尊敬和交情买下这本书，也只是束之高阁，鲜少翻看，更何况是书的附录。
他的那个理论和想法就此湮没无闻，再也，不，应该是从来就没有被世人所发现。在他看来无比神秘而新奇的乌有中的世界，果真如大数学家当年所说一样，像一个笑话消散在世间。那隐约的喜悦是否渐渐化成了黯然的苦涩，没有人知道。只是几年之后，他也病逝了，葬在了家族的墓地里，他父亲的旁边。
他大概永远也没办法知道了，在地球的另一边，一位俄国的年轻数学家罗巴切夫斯基发表了一个令数学界震惊的结果，他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他明确的指出：第一，第五公设不能被证明。第二，在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
近四十年后，一名意大利数学家在拟球曲面上证实了非欧几何的存在，罗巴切夫斯基的独创性研究也得到了学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。
再十年之后，德国数学家黎曼创立黎曼几何。
现代数学认为欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。因而这三种几何都是正确的。欧式几何适用于我们的日常生活；罗氏几何适用于宇宙空间中或原子核世界；黎曼几何适用于研究球表面等实际问题中。
作者有话说
第1章 第 1 章
