《数焰》星越蔓蔓

15、第十五章 异方差 异方差，就

　　异方差，就是我的存在，让你的生活波动。

　　陆明远盯着那张残差图，看了很久。
　　残差图是他之前做的，横轴是出差天数，纵轴是残差（实际情感减去预测情感）。按照回归分析的基本假设，残差应该随机分布，没有规律——也就是说，不管出差天数是多少，残差的大小应该差不多。
　　但他发现，这张图上有明显的规律。
　　出差天数少的时候（比如2020年的43天，2021年的12天），残差比较小，集中在0附近。出差天数多的时候（比如2019年的118天，2018年的115天），残差反而更大，更分散。
　　他把这些点标出来：
　　出差天数43天（2020）：残差-0.15
　　出差天数12天（2021）：残差-1.08（这个很大，但只有一个点）
　　出差天数85-95天（2007-2011）：残差在-1.5到0之间，波动范围1.5
　　出差天数100-118天（2012-2019）：残差在-0.5到+0.7之间，波动范围1.2
　　看起来，残差的波动幅度，和出差天数没有明显的关系。但有一个问题：2021年的残差-1.08，很大，但出差天数只有12天。这是一个异常点。
　　如果去掉2021年，再看：
　　出差天数43天：残差-0.15
　　出差天数85-95天：残差范围-1.55到-0.36，极差1.1
　　出差天数100-118天：残差范围-0.5到+0.69，极差1.19
　　差不多。残差的波动幅度，在不同出差天数下是相似的。这说明，他的模型可能满足“同方差”假设——残差的方差是常数。
　　但他总觉得不对劲。因为那些大的残差，似乎集中在某些特定的年份，而不是随出差天数变化。
　　他换了一个画法：横轴改成年份。
　　2007: -0.43
　　2008: -1.12
　　2009: -1.55
　　2010: -0.36
　　2011: -0.93
　　2012: -0.50
　　2013: +0.26
　　2014: +0.69
　　2015: 0.00
　　2016: -0.12
　　2017: +0.12
　　2018: +0.31
　　2019: -0.50
　　2020: -0.15
　　2021: -1.08
　　这张图上，残差的波动明显在变化。2007-2012年，残差以负为主，波动较大（-1.55到-0.36）。2013-2018年，残差有正有负，波动较小（-0.12到+0.69）。2019-2021年，残差又有大有小（-1.08到-0.15）。
　　残差的方差，随时间在变化。这叫异方差。
　　异方差的意思是，误差项的方差不恒定。在不同的时间、不同的条件下，模型的预测准确性不一样。
　　在他的模型里，2007-2012年，残差的方差大，说明模型在那几年预测不准。2013-2018年，残差的方差小，说明模型在那几年预测较准。2019-2021年，残差的方差又变大，说明模型又不准了。
　　为什么？
　　他想，可能是因为那几年，有模型没有包含的因素在起作用。
　　2007-2012年，是哪些因素？那几年，她父亲去世（2008），她工作压力大（2007-2008），她开始身体不好（2009-2010）。这些因素，模型里没有。
　　2013-2018年，那几年相对平稳。虽然她2016年第一次查出问题，但她没告诉他，他也不知道。所以模型只靠出差天数，反而预测得准。
　　2019-2021年，她复发、确诊、最后一年。这些因素，模型里也没有。
　　所以，异方差的存在，说明他的模型是不完整的。遗漏了重要变量。
　　陆明远做了一件事：怀特检验。
　　怀特检验是检验异方差的一种方法。原假设是同方差，如果p值小于0.05，拒绝原假设，说明存在异方差。
　　他用软件跑了一下。
　　怀特检验结果：LM统计量=9.87，p=0.043
　　p=0.043 < 0.05，拒绝同方差假设。存在异方差。
　　这个结果证实了他的观察：残差的方差不恒定。
　　他需要修正这个问题。否则，回归系数的标准误可能偏误，显著性检验可能不可靠。
　　修正异方差的一个常用方法是加权最小二乘。给不同的观测值赋予不同的权重，让方差大的观测值权重小一些，方差小的观测值权重大一些。
　　但他需要知道权重的形式。也就是说，他需要知道残差的方差和什么有关。
　　他把残差的平方（代表方差）和可能的变量做相关。
　　残差平方和出差天数：相关系数0.12，不显著。
　　残差平方和年份：相关系数0.08，不显著。
　　残差平方和她健康：相关系数-0.34，p=0.21，不显著但方向对——她不健康的时候，残差平方大。
　　残差平方和是否有重要事件：相关系数0.41，p=0.12，也不显著但方向对——有重要事件的年份，残差平方大。
　　看起来，残差的方差，主要和她人生里的“重大事件”有关。那些她没告诉他的事，那些他不在的时候发生的事，那些模型没包括的因素，导致了预测不准。
　　他没有这些事件的量化数据，没法做精确的加权。
　　另一个处理异方差的方法是使用稳健标准误。
　　稳健标准误不改变回归系数，只调整标准误，让显著性检验更可靠。
　　他用稳健标准误重新估计模型。
　　模型：Y = 9.82 - 0.062 × X
　　原来的标准误：斜率标准误=0.013，t=-4.82，p<0.001
　　稳健标准误：斜率标准误=0.015，t=-4.13，p=0.001
　　p值从0.0003变成0.001，仍然显著。结论不变。
　　多变量模型：
　　Y = 7.82 - 0.031×X + 1.87×健康 - 0.09×t
　　原来的标准误：X的标准误=0.009，t=-3.45，p=0.005
　　稳健标准误：X的标准误=0.011，t=-2.82，p=0.016
　　仍然显著。结论不变。
　　异方差存在，但不影响根本结论。
　　陆明远又做了一个分析：分组回归。
　　他把年份分成两组：2007-2012（前六年）和2013-2018（后六年），2020-2021单独看。
　　前六年回归：Y = 8.21 - 0.048×X，R?=0.51
　　后六年回归：Y = 6.34 - 0.029×X，R?=0.43
　　系数从-0.048降到-0.029，说明在后六年，出差对她的影响变小了。
　　为什么？
　　因为后六年，他开始改变了。虽然出差还是多，但他在家的时候，做了更多让她开心的事——买花、陪她去医院、说想她。那些事，抵消了一部分出差的影响。
　　但2019年，那个系数又变大了？2019年只有一年，没法回归。但2019年的残差是-0.5，说明实际情感比预测低0.5分。那一年，他出差最多，她最不开心，但模型预测她应该有2.5分，实际只有2分。那0.5分，是他没在的代价。
　　2020-2021年，他出差很少，但她的情感远高于模型预测（2020年实际7，预测7.15，残差-0.15；2021年实际8，预测9.08，残差-1.08）。2021年的残差特别大，是因为她快走了。
　　分组回归显示，异方差的存在，是因为不同时期的关系强度不同。他的影响，在早期大，中期小，晚期又大。不是常数。
　　陆明远想，异方差的本质是什么？
　　是生活的波动。是那些不可预测的事情。是她父亲去世，是她自己生病，是她一个人扛着秘密，是他在家的时候做的那点小事，是他不在的时候她的那些补偿。
　　这些事，让模型在某些年份特别准，在某些年份特别不准。
　　准的时候，是那些“正常”的年份——他出差，她等他，没有大事发生。不准的时候，是那些“异常”的年份——有大事发生，有好有坏。
　　异方差，就是人生的起伏。
　　他翻出那些残差大的年份，看看发生了什么。
　　2008年，残差-1.12。那一年，她父亲去世。大事。
　　2009年，残差-1.55。那一年，她身体开始不好，累，但没告诉他。大事。
　　2014年，残差+0.69。那一年，他带她去三亚了。好事。
　　2021年，残差-1.08。那一年，她快走了。大事。
　　这些年份，都是异方差的来源。是模型无法预测的波动。
　　他想，如果有一个完美的模型，包含了所有变量——她的健康、他的改变、那些大事小事——那么残差就会很小，方差就会恒定。
　　但那样的模型不存在。也不可能存在。因为生活本身，就是异方差的。
　　陆明远想起统计学里一个概念：ARCH模型。
　　ARCH模型是专门用来描述异方差的——方差不恒定，而且方差本身有规律，比如大的波动之后往往跟着大的波动，小的波动之后跟着小的波动。
　　他看他的残差序列：
　　2007:-0.43, 2008:-1.12, 2009:-1.55, 2010:-0.36,
　　2011:-0.93, 2012:-0.50, 2013:+0.26, 2014:+0.69,
　　2015:0.00, 2016:-0.12, 2017:+0.12, 2018:+0.31,
　　2019:-0.50, 2020:-0.15, 2021:-1.08
　　这个序列，确实有波动聚集的现象。2008-2009年，连续大的负残差。2013-2014年，连续大的正残差。2019-2021年，又有大的负残差。
　　大的波动之后，跟着大的波动。小的波动之后，跟着小的波动。
　　这就是波动聚集。
　　他做了一下ARCH效应检验。
　　结果：LM统计量=6.54，p=0.038，存在ARCH效应。
　　她的生活，有波动聚集。一段坏日子之后，往往跟着另一段坏日子。一段好日子之后，往往跟着另一段好日子。好日子和坏日子，会聚集在一起。
　　2008-2009年，坏日子聚集。2013-2014年，好日子聚集。2019-2021年，又是坏日子聚集。
　　这些聚集，是生活本身的规律。
　　陆明远想到一个问题：波动聚集的原因是什么？
　　是因为外部冲击的持续性。一个坏消息来了，影响会持续一段时间。她父亲去世，影响了好几年。她生病，也影响了好几年。
　　是因为他行为的持续性。他出差多的年份，会连续多。他出差少的年份，会连续少。他的行为，也是聚集的。
　　是因为他们关系的惯性。关系好的时候，会持续好一段时间。关系差的时候，会持续差一段时间。
　　这些都是正反馈。好循环，坏循环。
　　他想，如果把他们的婚姻比作一个系统，这个系统有正反馈机制。好的时候，越来越好；坏的时候，越来越坏。直到外力打破。
　　2003年的非典，打破过一次坏循环，让他们有了一段好日子。2020年的疫情，又打破过一次坏循环，让他终于在家陪她。
　　但2021年，没有外力了。只有结束。
　　陆明远看着那张残差图，想着那些波动聚集的年份。
　　2008-2009年，坏日子。那两年，她经历了什么？
　　2008年，父亲去世。2009年，身体开始出问题，累，但没告诉他。他呢？2008年出差92天，2009年出差85天。还是很多。
　　2013-2014年，好日子。那两年，发生了什么？
　　2013年，她评正高。2014年，他带她去三亚。他在家的时间，做了一些让她开心的事。
　　2019-2021年，又是坏日子。那三年，发生了什么？
　　2019年，她复发，没告诉他。2020年，确诊。2021年，离开。
　　波动聚集，就是这些日子的集合。
　　陆明远想起一个词：条件异方差。
　　条件异方差的意思是，方差不恒定，而且这种不恒定可以用过去的波动来预测。今天的波动大，明天的波动也可能大。
　　她的生活，就是条件异方差的。坏日子之后，往往还是坏日子。好日子之后，往往还是好日子。
　　但有一个例外：2003年，非典打破了一次。2020年，疫情打破了一次。
　　打破，需要外力。
　　他没有成为那个外力。他是外力的一部分——他的出差，是坏日子的来源。他的陪伴，是好日子的来源。但他没有主动去打破那些坏日子，他只是被动地等外力来。
　　等非典，等疫情，等她确诊。
　　然后，太晚了。
　　那天晚上，陆明远做了一个梦。
　　梦里他站在一片波动的水面上。水面一会儿平静，一会儿汹涌。平静的时候，他能看见自己的倒影；汹涌的时候，倒影破碎，什么都看不见。
　　林墨站在水中央，穿着那件白衬衫，扎着马尾。她脚下的水面很平静，她的倒影清晰可见。
　　他想走过去，但水面开始波动。他越靠近，波动越大。他停下来，波动就小一点。
　　她看着他，说：“明远，你知道什么是异方差吗？”
　　他说：“知道。方差不恒定。”
　　她说：“对。就像这水面。你在的时候，波动大。你不在的时候，波动小。”
　　他愣住了。
　　她说：“你来了，我就波动。你走了，我就平静。但不是开心的平静，是死寂的平静。”
　　她低下头，看着水中的倒影。
　　“这些年，我的生活，就是异方差的。你在的时候，波动大——有时候开心，有时候难过。你不在的时候，波动小——但不是好，是麻木。”
　　他张了张嘴，说不出话。
　　她说：“你愿意让我的生活，变成同方差吗？”
　　他问：“怎么变？”
　　她说：“要么一直在，要么一直不在。别一会儿在一会儿不在。”
　　他沉默了。
　　她说：“你选哪个？”
　　他说：“我选一直在。”
　　她笑了，说：“那就一直在。”
　　然后她消失了。
　　他醒了。
　　凌晨四点，窗外还是黑的。他躺在床上，心跳得很快。
　　她问他：你选哪个？
　　他选了：一直在。
　　但太晚了。
　　陆明远起床，走到书桌前。他打开那个文件袋。
　　他在上面写到：
　　“林墨：
　　我终于知道什么是异方差了。异方差，就是我的存在，让你的生活波动。
　　我在的时候，你波动大——有时候开心，有时候难过。我不在的时候，你波动小——但那是死寂的平静，不是好。
　　这些年，你的生活，一直是异方差的。2008-2009年，坏日子聚集。2013-2014年，好日子聚集。2019-2021年，又是坏日子聚集。
　　波动聚集，是因为我的行为在聚集。我出差多的年份，连续多；我出差少的年份，连续少。我陪伴多的时候，连续多；我陪伴少的时候，连续少。
　　我让你的人生，变成了条件异方差。可以用过去预测未来。
　　但未来，没有未来了。
　　你问我：愿意让我的生活变成同方差吗？要么一直在，要么一直不在。
　　我选了：一直在。
　　虽然晚了，但我选了。
　　从今以后，我会一直在。在你留下的数据里，在这些信里，在我余生的每一天里。
　　我会一直在。”
　　她会听的。
　　她一直在听……