《无缘》松风煮茗

7、可恶的数学 补课

　　翌日。
　　周六这天，杜缘很早就起来了。
　　他里里外外把出租屋打扫了一遍，到处都干干净净。
　　然后认真洗了个澡，换了件难得一见的宽松白长袖。
　　下午两点。
　　杜缘坐在桌前，侧着脑袋吹头发，肩上搭了条纯色毛巾，衣襟被飞溅的水星洇出了点。
　　桌上摆着的，是翻开的日记本，四周都叠满了试卷，几支散着的笔从敞开的文具袋里滚出。
　　吹干头发，他放下吹风机，左手撑着脑袋，右手捏着笔一晃一晃地敲自己下巴。
　　窗户外的午后阳光碎在桌沿，蝉鸣藏在青郁的叶间。
　　杜缘写了几句话后把本子关上，小心翼翼地拉开抽屉放进去，然后抓起一叠试卷在桌面放齐，把四支闲笔放进文具袋里收好，看到桌上摆着的几个旧相框时，犹豫了一下，还是轻轻放进抽屉里藏了起来。然后颓废般扑到床上一动不动。
　　……
　　下午5:30。
　　点的拼好饭到了，外卖员一通电话把杜缘叫醒了。
　　他迷迷糊糊地爬起来刚迈出一步，发现右腿十分不妙地麻了，还没扶住东西，蹭到地面的右腿就被极其诡异地扭了一下，然后整个人就跌在了地上。
　　“呃，放门口，谢谢！”他皱着眉爬了起来，哆哆嗦嗦一路扶着东西走到门口。
　　还好只是扭了一下有些酸，其他没什么感觉。
　　吃完拼好饭，杜缘再次收了次房间，然后端端正正地坐在椅子上等。
　　晚上6:56。
　　“咚咚咚。”
　　门被敲响了。
　　杜缘十分冷静地起身向门口走去，路过洗手间顺便简单照着镜子弄了弄头发。
　　直到握上把手，心跳才再次真实地快速跳动起来。
　　开门。
　　宋清影高挑的身体站在阴窄的楼道里，提着一个布袋和一个纸袋，神色平平。
　　“呃，那个，晚上好，呃，进来吧。”杜缘僵硬地笑了笑，缓慢地侧身让路，“那个，不用换鞋。”
　　宋清影似笑非笑地提了提嘴角，迈腿走进来。
　　杜缘木讷地领着他进了卧室，拉了把椅子出来：“就是那啥，你先坐这吧。”
　　宋清影轻轻点了点头，微微环视了下。
　　其实他对窥视别人家真的没兴趣，但这里真让他好奇。
　　房子不大，却堆了挺多东西。
　　墙上贴了不少儿童画，涂鸦抽象手法生疏，看着像几岁的小孩随手画的。房质量貌似不是很好，墙角渗水，全是黑黢黢一片。
　　小窗台上摆了几盆淡紫色的绣球花，茂茂密密一球叠一球，从窗边垂下，有风吹进来时，会悠悠的晃。
　　书桌上全堆满了书和资料，像学习学疯了摆的。
　　宋清影站在桌旁，将纸袋放在桌上，从中拿了两杯奶茶，递了一杯给杜缘:
　　“路上买的，我觉得挺好喝的，你应该喜欢。”
　　杜缘慌乱地看着那杯奶茶晃了晃手，刚想开口拒绝，就被宋清影扎了吸管直接插进嘴里。
　　“唔……”杜缘紧张又不知所措的接过奶茶吸了两口。
　　挺甜的。
　　他喂了他奶茶……
　　他把吸管塞他嘴里了……！
　　杜缘惊觉，吐出吸管抬眼看向宋清影。
　　宋清影无奈，似乎笑了下：
　　“干什么？给你带的，没下毒啊。”
　　杜缘干巴巴地眨了下眼，低头咬了咬吸管，轻声道：
　　“不是…不是下不下毒…”
　　“嗯？什么？”宋清影好像没听清，疑惑地往前凑了凑。
　　“…没什么…”杜缘稍微往后缩了缩，腰际抵上桌沿，“谢谢。”
　　“嗯，没事。”宋清影后退，从布袋里拿出一沓被夹子夹好的纸，“前两天的试卷写了么？”
　　“噢，写了。”杜缘放下奶茶，老老实实找出几张试卷递给他。
　　“嗯。”宋清影接过，坐上椅子，将试卷铺在桌上随手抽了支红笔，“你看看我刚刚拿出来的那个。”
　　杜缘规规矩矩地拿起来翻看。
　　是一份比较详细的学习计划。
　　每门都有。都一列列分析了弱点、待改进的地方、刷题方向、接下来的计划和推荐的资料等等，还分类分点分颜色地做了很多标记。
　　杜缘看得仔细，一认真了就找了个床沿坐下。
　　宋清影就坐在他的椅子上，在桌前给他改试卷。
　　红色划过纸张的沙沙声回荡在房间里。
　　差不多看完计划后，宋清影也改完了。他按了按红笔，左右翻了翻卷子，微微侧头：
　　“学习计划记得收好，我先给你讲讲这个。”他让杜缘稍微往这边挪了挪能看到试卷，才用笔在卷子上点了点，“除了这个函数导数综合的这个压轴题，其他都写得很好，很严谨很完美，很厉害。”
　　杜缘愣愣地看着他的眼睛。
　　宋清影用笔指着题目，话语平缓且清晰：
　　“看这题吧。第一问是常规讨论，关键是在第二问的恒成立问题。它的难点在于参数a和变量x在指数和对数里纠缠，直接求导后会得到一个既含参数又含变量的方程，很难直接解出零点。”
　　他抽过草稿纸，边写边说：“你看，题目条件是对所有x≥0都有f(x)≥0，那么，一个常用的突破口是：代入特殊的x值，得到a必须满足的必要条件。这里最直接的是代x=0，得f(0)=0，没什么限制作用。所以考虑一下其他值，比如x=1。”
　　他写下一串式子。
　　杜缘发现，他在讲解的时候语气好像温柔一些。
　　“但这只是个必要范围，真正难点在于，当x很小时，e^x接近1，而ln(x+1)也接近0，函数值接近0，需要确保此时导数非负以保证函数不减；当x很大时，指数项必须主导，保证函数趋向正无穷……”
　　时光在那一刻似乎走得很慢，窗外的阳光暖融融。
　　“…因为在x=0处，f(0)=0，如果f’(0)=0，那么函数在0右侧也会立刻降为负值，违反恒成立，所以必须有f’(0)≥0……”
　　他侧头看向杜缘。
　　“你可能是卡在直接求导后，试图解f’(x)=0找最小值，但发现ae^x=1/x+1解不出来，就不知道如何继续了。”
　　杜缘看着他的眼睛，宋清影暗色的瞳孔里藏了光，映着的全是他。
　　杜缘果悄悄红了红，他转开视线看向宋清影手下的草稿纸，上面写了几个式子，字很清晰锋利，很好看。
　　“嗯…”杜缘小声开口，“的确是这里卡住了。我后面想了想，好像是要隐零点…”
　　“对。”宋清影扭回头，“用隐零点的方法结合单调性去估计。现在我们有了一个更强的必要条件：a≥1，接下来验证充分性……”
　　“…利用常见的放缩不等式，将指数函数和对数函数联系起来……且t=0时取等，将原函数f(x)拆分成2个容易处理的部分，…所以g′(x)单调递增…因此，当a＞≥时，f(x)≥g(x)≥0恒成立。”
　　他顿了顿，补充道：
　　“所以最终答案是a≥1。你之前是不是试图对参数a进行分类讨论，但在a＜1时找不到反例？”他看到杜缘愣愣地盯着草稿，伸出一只手扳住杜缘的下巴，转过来面对自己，顺手抽了张纸擦了擦杜缘嘴上残留的奶茶，“反例其实就在x=0附近，若a＜1，则f’(0)＜0…”
　　杜缘瞳孔放大地停了停呼吸，心跳得很快，唇上还留着纸擦过的触感，他无意识舔了舔那块有宋清影余温的地方，不转眼地望着光里的宋清影被窗外夕阳勾了层金边的侧脸。
　　“…用泰勒展开具体找一个值，但考试时只要说明导数负即可。”他翻了翻草稿和题干，“总结，这类含指数对数的恒成立问题，先通过端点导数或特殊值得到必要范围，再用放缩或加强不等式证明充分性，是标准解法。你的计算能力很强，但遇到复杂零点时，要优先考虑必要性探路和放缩，避免直接硬解方程。”
　　他手上的动作停了，转头看向杜缘，轻声细语道：
　　“……听懂了吗？我会不会太快了？”
　　杜缘又愣了两秒，轻轻摇了摇头：“听懂了。不会的，挺好的，很详细。谢谢你。”
　　宋清影点了点头，从袋子里拿了两张纸：“听懂了的话，写下这个吧。都是差不多的题型，两题，难度差不多，现在先写写吧，不懂的问我，一会儿写完了跟你讲。”
　　杜缘接过纸，抽了支笔顶着下巴按了按，趴在一旁开始写题。
　　喜欢的人在旁边，怎么也会想着他。
　　他的侧脸，他的眉眼，他的发丝，他的皮肤，他的声线，他的衣服，他的手，他的……
　　可恶。
　　先干嘛来着？
　　哦，先看题。
　　不对，先写个解。
　　解：
　　再看题干。
　　已知函数f(x)=e^x - ½ax² - x -1……
　　可恶的数学。
　　……
　　转眼，几十分钟过去。
　　杜缘心不在焉地写完了最后一个点，轻轻扭头看向宋清影。
　　宋清影靠着椅背，手上拿着本资料不知道在划些什么。
　　“…那个，写完了。”杜缘小声开口。
　　“嗯。”宋清影点了点头，放下手中的书接过杜缘递过来的两张纸，花了一会批改了下，随后盯着杜缘漂亮的字迹很浅地笑了笑，“两题都能拿满分，过程很严谨，很厉害。”
　　杜缘忽然又听到了夸奖，嘴角偷偷提了提。
　　“有没有解得比较生硬的地方？我看你这里抓临界值的时候一开始写错又划掉了才改对的。”他偏头，“需要再给你讲讲吗？”
　　杜缘脸颊漫上红：
　　“…嗯，好的。”
　　……
　　“懂了吗？”宋清影摁上笔，轻声道。
　　杜缘看着草稿上零散的字迹，若有所思地停了一会儿，才开口:
　　“懂了，谢谢。”
　　“嗯，没事的。”宋清影随手用中指和食指夹着笔晃着，另一只手拿了几本书递给杜缘，“这些资料，我看了看你好像没有。两本新的，其中一本是数学，另一本是数理化合在一起的，基本都是压轴题真题和竞赛题。这本旧的是我写完的，嗯…就是没事可以翻着看，我都对了答案，过程都是没问题的，在一些题旁边也批注了些东西，平时没思路的时候可以翻翻，我圈了几个重点，有不会的题可以在里面找找类似的看我怎么写的，这本还是挺全的。”
　　他顿了顿，又补充道：
　　“当然，多找我问问才是最好的，我讲得比这写得详细。”
　　杜缘接过去，轻轻翻了翻那本宋清影写完的，略微张扬却又清晰干净的字密密麻麻，题目旁边用红色写了一步步的思路，每题都有批改修正过的痕迹。
　　“谢谢。”他合上书，抬眼认真地看着宋清影。
　　“怎么这么喜欢说谢谢。”宋清影似乎有些无奈地笑了笑，起身收了东西，“你在某种程度上来说，是不是算我金/主？”
　　他将桌上杜缘随手放下的奶茶推过去：
　　“时间到了，9:12了，天晚了，我得回去了。资料都要收好，最好用文件夹装着，奶茶记得喝啊。”
　　他整理好袋子，低头看着杜缘。
　　“我走了，再见。”他礼貌性笑笑，提着袋子出了门。
　　杜缘愣愣地反应过来想送他时，追到大门口只听到他的声音消失在楼梯间:
　　“周一见。”